梁政：机器人工程师进阶之路（六）旋量法（上）

旋量（2）

上篇利用一个螺丝钉介绍了旋量，描述一个旋量为[公式]。当给它一个螺丝刀，会发生螺旋运动，被描述为 [公式] 。此螺旋运动，分为角速度和线速度，可以描述所有的空间刚体运动。

我们结合我们的机器人后，再看看旋量。

机器人的关节一般只有两种，旋转副和移动副，很少见到有螺丝钉的螺旋副。所以在本篇中我们把螺丝钉简化一下，简化为两种形态（1）节距无限大的一颗“旋转钉”，也就是旋量中[公式] ，不知道有没有这种东西，自己画了一下；（2）节距为零的纯钉子，也就是旋量中 [公式] 。


这两种旋量，就可以表示旋转副和移动副了。对于（1）我们只能进行旋转输入，螺旋运动变为纯转动，此时旋量轴 [公式] ；对于（2）我们只能进行平移运动，没有旋转。那就意味着没有旋转轴，只有平移方向，所以 [公式] ， [公式] 。此时旋量轴 [公式] 。

（此处涉及单位旋量的原部矢量、对偶部矢量的关系，以及退化后的单位线矢量和单位偶量。对细节感兴趣的伙伴移步其他资料哦。）

旋转矩阵的指数表示（Exponential representation）

假设螺丝（1）上某一点p，从t=0开始到 [公式] ，位置从 [公式] ，实质上就是绕旋转轴转了 [公式] 角。上篇我们还写到绕某一旋转轴转动 [公式] 角的旋转矩阵为 [公式] 。所以上面运动表达为公式的话， [公式]

两边对t求导得

[公式]

向量微分方程求解得以下解。注意的是，由于旋转轴为单位阵，时间t的变化和转角 [公式]的变化是等价的，所以t和[公式]可互相替换。[公式]

还知道， [公式] 。将指数项Taylor展开可得 [公式]

此公式称为旋转矩阵罗德里格斯公式（Rodrigues' formula），也是旋转矩阵得指数表示。

齐次变换矩阵（T矩阵）的指数坐标表示（Exponential coordinates representation of a homogeneous transformation ）

在前几篇中，我们说用T矩阵来表示一个六自由度的量，感觉非常不值当。通过分析了旋转矩阵，将其转换为指数形式 [公式] ，成为了一个三自由度的量。结合一下平移，我们可以定义六维T矩阵的指数坐标为 [公式] 。用公式表达为， [公式]

可定义，当 [公式] 为螺旋轴（screw axis），如果旋转轴为单位向量[公式] ，那么对于任意距离 [公式] 在这个轴上的运动可被表述为 [公式]

当只平移运动时， [公式] [公式]

刚体运动的矩阵对数

有指数，就会有对数。任意一个T矩阵，总能找到一个螺旋轴S和一个标量 [公式] [公式]

那么， [公式] 就是T矩阵的对数。

算法： 通过[公式] ，找到一个 [公式] 和一个螺旋轴 [公式] ，使得 [公式] 。向量 [公式] 包含T的指数坐标系，并且 [公式] 为T的矩阵对数。

（1）如果 [公式] ，那么 [公式]

（2）否则，利用R求出 [公式] 和 [公式] 。 [公式]

[公式]

（3）再计算 [公式] ，其中 [公式] 。

例：frame{b}和frame{c}如下图，当前位姿用T_sb和T_sc表示。求{b}->{c}的变换关系用指数形式表达出来，并求转动角度。

1）因为是相对于固定坐标系{s}，所以

[公式]

求得T_bc，

2）利用R，求 [公式] 和 [公式] ，得 [公式] ， [公式]

3）利用p，求 [公式] ，得 [公式]

4）经过分析，此运动为纯旋转得螺旋运动，则 [公式] ，可以得到螺旋轴上的一点q的坐标。其中反对称阵的性质 [公式] 。

总结一下，以旋量 [公式] 为标准，运动旋量螺旋轴 [公式] ，做 标量[公式] 的螺旋运动，其中

[公式]