工业机器人的正向运动学：是指已知各关节的类型、相邻关节之间的尺寸和相邻关节相对运动量的大小时，如何确定工业机器人末端操作器在固定坐标系中的位姿。
DH模型：1955年，Denavit和Hartenberg(迪纳维特和哈坦伯格)提出了这一方法，后成为表示机器人以及对机器人建模的标准方法，应用广泛。
总体思想：首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个关节到下一个关节进行变化的步骤，这体现在两个相邻参考坐标系之间的变化，将所有变化结合起来，就确定了末端关节与基座之间的总变化，从而建立运动学方程，进一步对其求解。

参考资料：台大机器人学之运动学——林沛群https://www.bilibili.com/video/av54047883

01 连杆描述

与地面等连接的固定端，记为 Link 0
之后依次记为 Link 1，Link 2，Link 3……
在这里插入图片描述

02 D-H表示法

①描述

描述一个关节，需要4个参数：
连杆扭转角 α ( i − 1 ) α_(i-1) α(​i−1)：与下一关节轴的交错角度（可以将 轴i 投影到 轴i-1，使其相交）
连杆长度 a ( i − 1 ) a_(i-1) a(​i−1)：与下一关节轴的直线距离（与 轴i-1 和 轴i 均垂直）
连杆偏距 d i d_i di​：两侧距离垂足间的距离
关节角 θ i θ_i θi​：连杆距离 a i a_i ai​ 与 a i − 1 a_{i-1} ai−1​间的交错角

对于旋转关节，θ是自变量
对于移动关节，d是自变量

个人理解：
d可以理解为X轴间的距离
a可以理解为Z轴间的距离
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②建立坐标系

Z轴：转动或移动轴的方向
X轴：沿下一连杆垂直距离的方向（若距离为0，即关节轴相交，则X方向与这两个关节轴都垂直）
Y轴：根据右手定则确定
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③对于地杆的坐标系建立

对于转动关节： θ n θ_n θn​任意，可取0
对于移动关节： d n d_n dn​任意，可取0

取0时，即与 轴1 坐标系方向相同
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④对于最后一个杆件的坐标系建立

对于转动关节： θ n θ_n θn​任意，可取0
对于移动关节： d n d_n dn​任意，可取0

取0时，即与 轴n-1 坐标系方向相同
在这里插入图片描述

⑤杆件间的转换矩阵

从 蓝色坐标系 到 红色坐标系：
过程：

  1. 蓝色到绿色：绕X轴转动α角（使得绿色与红色Z轴方向一致）
  2. 绿色到橙色：沿X轴移动a长度（使得橙色Z轴与红色Z轴重合）
  3. 橙色到紫色：绕Z轴转动θ角（使得紫色X轴与红色X轴方向一致，即紫色与红色坐标系方向一致）
  4. 橙色到红色：沿Z轴移动d长度（X轴重合，即坐标系重合）

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按照 转动角度α --> 移动位移a --> 转动角度θ --> 移动位移d 的顺序
可以得到两个相邻轴之间的转换矩阵：
在这里插入图片描述
由此，可以得到 对于多个轴之间的转换矩阵：
在这里插入图片描述
在应用中，可以先对每一关节列出它们的D-H参数表，然后求转换矩阵~
（注意也要标记出 到 夹持器中心 的 位移向量 3 P = { L n , 0 , 0 } ^3 P =\{L_n,0,0\} 3P={Ln​,0,0}
（记录参数表时，a参数可以理解为z的偏移量，d参数可以理解为是x的偏移量）
RRR机械臂

⑥小结

注意各参数方向和正负
α是从X轴利用右手定则确定正负
θ是从Z轴利用右手定则确定正负
图中的α、a、θ、d参数放置顺序 即为 每一关节轴的旋转矩阵各位姿相乘的顺序
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03 改进D-H表示法 和 标准D-H表示法

  • 改进的D-H表示法（也就是上文所使用的方法~）总结如下
    在这里插入图片描述
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  • 标准D-H表示法如下
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

  • 二者的区别：

  1. 两者转动移动顺序不一致
    （改进是α、a、θ、d）
    （标准是θ、d、a、α）
  2. 两者对杆件定义顺序不一致
    （改进是 axis i-1后面跟杆件i-1）
    （标准是 joint i-1后面跟杆件i）
  3. 两者X轴的方向不同
    （改进是 杆i 前是 轴 i）
    （标准是 杆i 前是 关节 i-1）
  4. 3 P ^3P 3P不一样（一个是（ L n L_n Ln​ ,0,0），一个是（0,0,0））
  • 关于标准和改进的D-H表示法之间的转换：

改进的转换矩阵：
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标准的转换矩阵：
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可以看到左上角的旋转姿态部分相同，右上角的位置部分标准更为复杂。这是因为标准D-H表示把夹持器的位置放入其中
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把改进D-H的旋转矩阵 × 3 P ^3P 3P =标准D-H旋转矩阵
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二者区别在文章https://blog.csdn.net/qq_27170195/article/details/79936518中也进行了详细的总结

04驱动器空间与关节空间

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05 例1：SCARA机器人

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06 例2：六轴机械臂

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07 总结

对于改进D-H参数法，其计算过程为

  1. 建立各关节坐标系
  2. 得到D-H参数表
  3. 计算每个关节的转换矩阵
  4. 对于六轴机器人等自由度机器人，定位环节和定向环节分别计算总的转换矩阵，即 6 3 T _6^3T 63​T和 3 1 T _3^1T 31​T（其中 6 3 T = 4 3 T   6 4 T _6^3T =_4^3T\ _6^4T 63​T=43​T 64​T）
  5. 得到总的转换矩阵 6 1 T _6^1T 61​T，对于矩阵量特别大的，矩阵内每一参数可以在矩阵外表示
  6. 将总的转换矩阵，转为对固定坐标系的 6 0 T _6^0T 60​T
  7. 得到相对于夹持器中心点的转换矩阵