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Two spaces are topologically equivalent if one can be smoothly deformed to the other without cutting and gluing.

如果两个表面能够连续从一种形状变化到另一种形状，而不经过切割和粘结等方式，我们称他们为拓扑等效 的。

在二维面中，球面（球是三维的，球面是二维的（可由经度与纬度表示））若想变为一个平面，则需要进行切割，故其不是拓扑等效。

来看一个圆环面变为一个茶杯面：

一切变化来源于表面自身而不用任何特殊的处理。故其为拓扑等效的。

在一维空间中，不同的拓扑为：圆、直线、线段。

• 圆在数学上以  或者  来表示为一维球。
• 直线在数学上写成  或者 来表示一位欧式空间（或平面）。由于在选的坐标原点和长度单位后，直线上一点常以实数坐标表示，故通常将其表示为  或者  。
• 线段[a,b]由于两端存在端点，故不与直线等效。
• 开区间(a,b)是与直线拓扑等效的。

在二维空间中，不同的拓扑为：平面、球面、圆环面、圆柱面。

在更高维度中，  表示n为欧式空间，  表示n+1维空间内的n维球表面，  表示n+1维空间内的n维圆圈（例如圆环面）表面。

做这么多的目的就是为了将这些应用于我们物理系统。

• 对于一个在平面上自由运动的点，其拓扑为一个平面  ,也可以将其写为  (用（x,y）表示)，将其在平面上表示：

• 对于一个球形钟摆，其拓扑为一个球面  。将这个球面进行裁剪，展开，得到经度与纬度表示。（这种表示的缺点就是在剪开出，球面的变化是连续的，但在平面上出现了突变。）将其在平面上表示：

• 对于2R机器人，其C-空间的拓扑为圆环面  (这里需要注意的是  ,而不是  。在二维空间中，球面和圆环面并不等效)。将圆环面先切位圆柱面，再切为平面。将其在平面上表示：

• 对于可选择与滑动的串珠，其二维C-空间为圆柱面  。将其在平面上表示：

汇总图如下：

我们需要记住的是表达与空间拓扑本身是独立的，即不同的表达并不能影响空间拓扑结构本身。

位形空间的表达由两种方式：显式参数化和隐式表示。

显示参数化可以使用最少的参数来表示n维空间，但在将一些非欧空间式用坐标表示时会出现如上面例子中一些不连续等问题的奇异(singularity)情况。

隐式表示将n维空间看作嵌入在多余n维的欧式空间中（如将单位球面表达为  ）。该方法看起来没有那么直观，所使用的参数多余自由度个数，但该表示无奇异。另一个优点为：对于闭链机构找到其隐式表达相对容易。