现代机器人学（5）-角速度

八度浅离

分类：机器人学

发布时间 2022.03.08阅读数 3444 评论数 0

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前面：

一个 $n \times n$ 方阵A，若 $A^T=A$ ,则我们称其为对称矩阵，若 $A^T=-A$ ,则我们称其为反对称矩阵。

[x]为向量x的3*3反对称矩阵

我们将所有的3*3反对称矩阵的集合称为so(3)（反对称矩阵so(3)称为SO(3)群的李代数）。

在上一次笔记中，我们使用R来表示姿态，所以现在希望使用 $\dot{R}=[\dot{x}\space\dot{y}\space\dot{z}]$ 来表示角速度。

由于我们仅考虑姿态，故与物体重合的坐标系在旋转时，其旋转轴一定过坐标系的原点。

我们使用 $\hat{w}_s$ 来表示旋转轴（^表示为单位向量），以 $\dot{\theta}$ 表示旋转的速率，则角速度就为 $\hat{w}_s$ 与 $\dot{\theta}$ 的组合： $w=\hat{w}_s \dot{\theta}$ 。

在旋转过程中，去x轴为代表，其的轨迹为绕着旋转轴的圆，则其瞬时速度为 $\dot{\hat{x}}=w \times \hat{x}$ 。

同理， $\dot{\hat{y}}=w \times \hat{y}$ 、 $\dot{\hat{z}}=w \times \hat{z}$ 。

故 $\dot{R}=[w \times \hat{x} \space \space w \times \hat{y}\space\space w \times \hat{z}]=w_s \times R=[w_s]R$ (有前面的反对称矩阵得)

两边右乘 $R^{-1}$ 可得 $[w_s]=\dot{R} R^{-1}$

利用坐标消去原则，使用 $w_b=R_{bs}w_s=R^{-1}_{sb} w_s=R^{-1}w_s=R^Tw_s$ 得

$[w_b]=[R^T w_s]=R^T[w_s]R=R^T(\dot{R} R^T)R=R^T \dot{R} =R^{-1} \dot{R}$

在此处使用了如下命题：

故，最后得总结为：

机器人人工智能自动控制现代机器人学角速度

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