上一篇传送门：

3.旋转磁场和转矩

3.1三相绕组的磁场

上一章我们介绍了绕组布置方式对谐波的影响，这一章我们继续深入三相绕组产生的磁场。

现在继续之前一贯的转子和定子之间的恒定有效气隙  的假设，使得磁动势和磁通密度保有简单的线性关系

(10.1) 

所以绕组通电产生的磁场就可以继续用基波和高次谐波描述

(10.2) 

因为截面合成磁动势在不停旋转，所以产生的磁场也在不停旋转，也就是旋转磁场的由来。

那么磁场基波为

(10.3) 

(10.4) 

(10.5) 

磁场的高次谐波为

(10.6) 

(10.7) 

(10.8) 

3.2转子线圈上耦合磁链

现在考察带有转子线圈后会产生的磁链。在可以旋转的转子上现在只装上了一个未通电的线圈。转子直径  ，整个转子在磁场中有效轴长  ，转子匝数  。那么定子和转子耦合的互感磁链  显然和转子所处的位置角  (电角度)有关。

从定子绕组产生的旋转磁场为 

(10.9) 

磁链大小来自磁通密度在一个极宽内的面积积分，而这个积分面积  又和  有关。

(10.10) 

先对求和内积分得

(10.11) 

所以定子磁场对转子绕组产生的互感磁链 

(10.12) 

 为 耦合磁通，则耦合磁链的基波为

(10.13) 

(10.14) 

那么耦合磁链的高次谐波为

(10.15) 

(10.16) 

可见磁链的高次谐波会随着阶数上升而平方递减。

3.3转子线圈的感应电压

有了磁链就可以计算转子线圈的感应电压，使用电磁感应定律，再链式求导

(10.17) 

如果转子始终以恒定的转数  转动，那么转子的机械旋转角速度 

(10.18) 

转子随时间变化的机械角度为 

(10.19) 

电角度 

(10.20) 

因为机械角度  是时变的，所以最终由两个独立变量退化为仅为一个变量 。

所以耦合磁链简化为

(10.21) 

用求导计算感应电压

(10.22) 

可知，感应电压会出现高频振荡，其幅值为 

(10.23) 

(10.24) 

其中  为转子机械角速度相对于定子旋转磁场的相对角速度。

当电机刚启动，还是静止不动的状态(Stillstand)时，会有

(10.25) 

(10.26) 

3.4转差率

如果电机转子的机械转速与定子旋转磁场的转速不一致，那么会有相对速度差。为了更紧凑的书写方式，我们引入转差率(Schlupf)的概念。先定义定子旋转磁场谐波的机械角速度 

(10.27) 

则定子旋转磁场谐波机械角速度和转子机械角速度的差值为 

(10.28) 

那么旋转磁场谐波转差率  (简称谐波转差率)，定义为角速度的差值和旋转磁场谐波机械角速度的比值

(10.29) 

定子绕组激发的旋转磁场的基波转数也被称为同步转数  (Synchrodrehzahl)

(10.30) 

那么基波转差率也可以这样描述

(10.31) 

 为实际转子机械转数。显然，当处于静止启动状态时，  ,而当达到同步转数时，  。那么高次谐波的转差率  则为

(10.32) 

则转子线圈上的感应电压可以用转差率简化表示

(10.33) 

(10.34) 

(10.35) 

综上，我们知道，三相定子绕组会产生一个旋转磁场，有一个基波和无穷个高次谐波，并且高次谐波幅值和角速度会随着阶数提升而递减，而这个基波以一个机械角速度  在空间上沿着定子圆周转动，至于旋转磁场的高次谐波都以更低的角速度，与基波的方向相同或者相反地旋转。而旋转磁场又会感应出在转子线圈上无穷个不同频率振荡的感应电压，这些感应电压的幅值，与转差率、磁场强度以及谐波阶数有关。

3.5转子绕组的感应电压

之前我们探讨的只是转子上出现一个线圈，现在我们要继续推广，现在转子上不是线圈而是完整布置了三相绕组。同样的预设，转子绕组上未通电流，最初的旋转磁场只是定子绕组产生的。

此时，定子绕组有  对极对，每极每线圈束的匝数为  ，做了最终能产生绕组因数  的分布绕组(槽洞数为  )和短距绕组(短距比  )布置。

相对应的，转子绕组有  对极对，每极每线圈束的匝数为  ，做了最终能产生绕组因数 的布置。

转子和定子叠片都没被倾斜过。

当参考起始角从通入U电压的线圈束开始的时候，则有定子相对于转子有角度关系

(10.36) 

(10.37)

由于线圈束在空间上两两相差  的偏角，现在令1，2，3对应了三相绕组U,V,W。那么定子轴绕组的角度为 ，对应的绕组轴的角度 ， 

(10.38) 

(10.39) 

那么现在第  个转子线圈束上会产生一个感应电压 

(10.40) 

由于转子也是绕组布置，也会有对应的绕组因数对谐波幅值产生影响

(10.41) 

同时，在定子绕组上也会激发出自感电压，当转子完全静止不动的时候(  )，可以轻松推出定子三相绕组上的第  个转子线圈束的感应电压 

(10.42) 

(10.43) 

3.6旋转磁场的转矩

到目前为止，我们讨论的都是不通电流的转子。所以所有的旋转磁场都是单单由定子绕组的 产生的。如果转子的绕组上也有电流流过，那么在定子和转子的共同作用下会有一个合成气隙磁场产生。为了方便考察，假定定子和转子的旋转磁动势都是可以线性叠加的。那么合成磁动势 

(10.44) 

切记，这样的直接叠加只有在特殊情况下，也就是处于线性区的磁路才可以实现。

当然，为了简化问题，还是要忽略铁芯部分磁通，并且继续保持恒定的气隙宽度的假设。最后合成的磁场为

(10.45) 

那么可以计算磁场能量密度 

(10.46) 

把能量密度对体积积分，可得被储存的磁场能量 

(10.47) 

电机磁场对外输出转矩，源于磁场能量的在不同角度  的变化

(10.48) 

可以交换积分微分顺序

(10.49) 

由于定子磁动势与转子位置角无关，所以

(10.50) 

(10.51) 

自定子和转子旋转磁场的单独谐波产生转矩，它也有很多成分，显然其中的基波最值得我们关注。第  阶的定子磁动势  ，  为定子初始角。其中 

(10.52) 

第  阶转子旋转磁动势  ，在基于转子不动的坐标系下(  )，有 

(10.53) 

 为转子初始角。在恒定的转数下，有转子坐标系和定子坐标系转换关系

(10.54) 

(10.55) 

(10.56) 

根据式(10.56)可知， 当仅考虑基波的时候  ，即在定子坐标系下，转子产生的旋转磁动势和定子产生的旋转磁动势是速度相等，是同步的，不受转差率影响。

那么  对  偏微分有

(10.57) 

所以第  阶的定子磁动势 和第  阶转子旋转磁动势 (都处于定子坐标系下)共同作用产生的转矩 

(10.58) 

有两个定积分 

(10.59) 

(10.60) 

显然，  的积分为0，因为

(10.61) 

也就是说转子的旋转磁动势会由于磁场对称性不产生有效转矩！再看 

(10.62) 

定子和转子的高次谐波的“高阶极对极数”  和  必须相互匹配，否则，其他不匹配的情况下，被产生的转矩就会被一整圆周的积分内部对消。

基波转矩

所以让我们继续考察转矩基波(Grundwellendrehmoment)，根据上面两个积分，我们知道，如果想要基波(  )产生有效转矩，必须使得极对极数一样大！

(10.63)  (极对数条件)

即便极对极数相等了，但是基波转矩不恒定，为了转矩不波动，所以应该让角速度也相等

(10.64)  (频率条件)

只有定子和转子基波的气隙圆周线速度和转向相符的时候，这样转矩才会在时间上恒定。如果频率条件不满足，就会产生摆动转矩(Pendelmoment)，摆动转矩是一种以  的频率在时间上以正弦变化的转矩，但是平均值恒为0。到后面我们也会意识到，高次谐波由于转速不一而产生的摆动转矩叠加到了基波转矩上，产生了很多振动和噪音。

当极对数条件和频率条件都满足的情况下产生的基波转矩

(10.65) 

(10.66) 

所以如果转矩想要达到最大值，应有角度条件

(10.67) 

高次谐波转矩

对于任意阶数的高次谐波转矩，应有

(10.68) 

(10.69) 

高次谐波的极对极数和阶数的匹配才会产生高次谐波转矩，这一点对于异步鼠笼电机很重要，因为转子的极对极数不是由绕组决定的，而是近乎会自适应地调整。

这种寄生的高次谐波转矩对于电机在任何时候都是一种干扰。如果频率条件不满足，就会产生摆动转矩，摆动转矩会在轴系上激发临界扭矩的振荡。如果频率条件满足，就会产生恒定的转矩，要么增强要门减弱目标基波转矩。

注意到，旋转磁动势谐波幅值为

(10.70) 

(10.71) 

可见，通过调节绕组因数，也可以有效遏制高次谐波，降低高次谐波转矩。

3.7小结

利用上两章获得的定子的旋转磁动势谐波，可以导出气隙磁场分布，并且讨论了单个线圈的转子以及完整的对称三相绕组的转子，积分算出耦合磁链，之后通过能量法算出了转矩。导出了极对极数条件和频率条件。在两个条件不符合的情况下，转矩就会出现波动，由旋转磁动势高次谐波激发转矩涟波。同样地，依然可以通过合理的绕组因数消去特定阶数高次谐波。

现在对于旋转磁场的初步探讨已经结束了，旋转磁场理论是三相交流电机的理论基础，内容十分繁复精细，本文水平有限，只能探讨一些简单的理论。如果对高次谐波感兴趣，可以阅读知乎上另一位大佬 

 的专栏：

Elektrische Maschine​zhuanlan.zhihu.com/c_1140202598069166080

以及他的相关文章，他和我一样在德学习，可以和我的文章内容互为补充。