从本篇开始记录"状态估计"相关的学习笔记

提及状态估计，首先想到的就是Kalman滤波，而Kalman滤波的理论基础就是高斯分布，之前看文献都没有很好的去推导高斯分布，尤其是两个多维高斯分布相关关系推导；趁着最近整理笔记，顺便又推导了一遍，然后记录下来

首先，还是从一维高斯分布谈起，第一张图给出了标准正态分布和一般的高斯分布之间的关系，需要注意的是：仿射变换

紧接着，我们可以将多个相互独立的一维正态分布变量用一个列向量组合起来，于是就变成了解耦的多维高斯分布(多维标准正态分布)

然后，通过 仿射变换 我们可以将标准正态分布，变为一般的高斯分布

期望变成了期望向量，方差变成了协方差矩阵(半正定)

接下来需要讨论多个多维高斯分布之间的关系：

(1) 不同模型的函数传播

需要简单了解(本质是多元函数微积分里面的雅克比行列式)线性模型，非线性模型以及卷积模型的结论

(2)从联合分布到边缘分布和条件分布

我们知道从联合分布函数是可以推导出边缘分布函数和条件分布函数的

然后需要了解证明过程，可以看下两张图，否则直接跳过第6~7页

(3)从边缘分布和条件分布到联合分布

我们知道单从边缘分布函数或条件分布函数是无法推导出联合分布函数的，需要两个分布都已知才能求得

然后需要了解证明过程，可以看下一张图，否则直接跳过第9页

最后，将所有的结论汇总：

Reference

  1. zhuanlan.zhihu.com/p/58
  2. fourier.eng.hmc.edu/e16