这一部分主要参考B站老王同志的贝叶斯滤波部分，贴上链接，建议多多支持老王成果

贝叶斯滤波与卡尔曼滤波第七讲 卡尔曼滤波_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili​www.bilibili.com/video/BV1HT4y1577g/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.-1

先概括一下本部分需要介绍的内容：

（1）贝叶斯滤波思想与卡尔曼滤波算法的关系

（2）推导一维卡尔曼滤波算法

（3）推导多维卡尔曼滤波算法

（4）简要介绍一下卡尔曼信息融合

1. 贝叶斯滤波思想与卡尔曼滤波算法

上一节介绍了贝叶斯滤波，严格来说，它是一种思想，而不是一种算法；因为贝叶斯滤波无法处理无穷积分的问题

状态估计01. 多维高斯分布

在本专栏第一节，介绍了多维高斯分布的运算，主要包括 卷积分布 与 乘积分布

通过推导与证明，我们可以知道，高斯分布的无穷积分是可以求解的，但是其运算必须是一次函数关系（线性关系 + 偏置项）

所以，我们对贝叶斯滤波作出两个假设，然后就可以推导出卡尔曼滤波算法

假设1：状态方程与观测方程均为线性方程

假设2：状态与噪声的分布是高斯分布，特别地，噪声分布的均值为0

进一步地，我们将贝叶斯滤波思想，与推导卡尔曼滤波所需要的 高斯分布的卷积分布与乘积分布 罗列出来。

2. 一维卡尔曼滤波算法

先介绍一维卡尔曼滤波算法，因为可以排除一些复杂的矩阵运算过程

首先是预测步推导，类卷积过程，可以采用卷积或者留数定理进行求解，或者直接采用Mathematica等数学工具进行求解；我们这里直接给出结论：

预测步得到的一步预测状态服从高斯分布，均值和方差的结果与上述直接使用卷积分布的结论是一致的

然后是更新步，乘积过程，硬算或者通过Mathematica等数学工具进行求解；我们这里直接给出结论：

更新步得到的更新状态服从高斯分布，均值很奇怪

我们可以通过引入一个常数（卡尔曼增益），然后所得到的均值与方差就与上述直接使用乘积分布的结论是一致的

通过上述推导，我们得到了一维卡尔曼滤波算法的实现过程，也就是常说的五个公式

换言之：

通过两个假设，将贝叶斯滤波思想无法求解的无穷积分 变成了 可以求解的 卡尔曼滤波算法呢

3. 多维卡尔曼滤波算法

与一维卡尔曼滤波算法的推导类似，只不过将标量运算转换成了矩阵运算，而其中矩阵运算的过程已经在

状态估计01. 多维高斯分布

中给出了推导与证明，以下仅仅给出简单的推导

首先是预测步

然后是更新步

接下来给出多维卡尔曼滤波算法的结论

4. 卡尔曼信息融合算法

信息融合（估计融合，数据融合）：指的是利用多个传感器所包含的有用信息进行状态估计

更详细的内容可以参考书籍 韩崇昭著《多源信息融合》

本节主要简单介绍一下信息融合中最基础的一类：观测扩维

也就是将多个观测融合成一个增广的观测进行处理

Reference

  1. blog.csdn.net/weixin_30 (高斯分布的推导)
  2. zhuanlan.zhihu.com/p/34 （卡尔曼滤波的推导）
  3. 韩崇昭著《多源信息融合》