前面3篇博客分析了扩张状态观测器(ESO)收敛性分析的套路，基本上是过了一遍原文献的证明步骤，穿插一些说明，目的在于让人看清证明背后的思想。考虑到ESO是自抗扰控制(ADRC)的核心，因此ADRC的稳定性证明套路其实在一定程度上也借鉴了ESO收敛性套路。文献[1]首次给出了多输入多输出系统ADRC稳定性的完整证明，但其使用的符号比较多，且数学味过于浓厚，毕竟文献[1]对应的期刊其实是一本数学期刊，不太容易吸引人阅读，不过其证明的实质套路一直得到了传承和发扬，此后一连串的文献都沿袭了文献[1]的套路，比如文献[2]。因此，如果想知道ADRC的稳定性证明套路，文献[2]值得推荐，比文献[1]的可读性强一些。

这里不打算再像之前博客那样过一遍文献[2]的证明步骤了，仅仅分析其思想，因此只罗列部分公式以对套路进行辅助说明，感兴趣的读者可以直接找来文献[2]仔细研读。文献[2]考虑下面的下三角形式的系统：

其中， 为系统状态，为所谓的零动态（控制理论喜欢玩的一套，这里仅仅为了增加公式表面复杂性来装B），y(t)为输出，u(t)为控制输入，w(t)为外部干扰，b 为不知道准确值的控制系数，但是有一个比较接近的名义值b 0，事实上，要是b 完全未知，那么理论推导导相当复杂，可以说，ADRC里面最关键的参数就是这个b 了。

直接考虑系统(1)的ADRC不太容易，考虑一般ADRC的文章喜欢积分形式的系统，因此ADRC设计的第一步就是利用坐标变换把系统(1)转化为积分形式，文献[2]采用了反馈线性化里面的常规操作：

其中，对时间变量t的(j−1)阶导数，这样转换后，利用新的状态变量xˉ (t)=( xˉ1 (t),…, xˉn (t))，系统可写为如下的积分链形式：

系统(3)单独提取出了b 0(t)u(t)这一项以方便控制器设计，因此总扰动xˉn+1 (t)的表达式为

这样一来，系统形式整理完毕，控制目标是在初值有界的前提下，状态(x(t),ζ(t))始终有界，输出y(t)能跟踪给定的有界参考信号r(t)，且r(t)的各阶导数r˙ (t)，r¨ (t)，…，r (n) (t)均有界，并记为

接下来可以给出ADRC的结构了，ESO的形式为

还是熟悉的配方为设计函数，ε>0为调节参数。与单独ESO收敛性分析不同的是，这里还需要给出u(t)的表达式，由于系统已经转换为了积分链形式，因此可以直接给出

其中用于输出跟踪，采用饱和函数sat Q i (⋅)是为了防止所谓的峰值现象，文献[3]对此有专门的论述。我们可以看到的是，ADRC中ESO和控制器的形式比较直接，其复杂性主要体现在稳定性证明上。这里有两类误差：ESO的观察误差η(t)和系统对参考信号的跟踪误差e(t)。首先给出两类误差的定义：

进而可以写出η(t)和e(t)满足的微分方程：

然后就可以根据式(9)开展ADRC稳定性分析了，证明一般分三步走：

第一步：证明跟踪误差e(t)的有界性。具体来说，存在ε 2>0使得对所有ε∈(0,ε 2 )，集合{e(t):t∈[0,∞)}有界。通过研究时间区间[t 1 ,t 2 ]上系统的性质，利用反证法证明，这里比较关键的有4个细节：

  1. 利用不等式放缩证明∣e i (t)∣的上界和ε无关；
  2. 对xˉ˙n+1 (t)表达式的计算，没有实际难度，只是需要注意各项的展开，结合论文的各种假设获得∣ xˉ˙n+1 (t)∣上界的形式；
  3. 在反证法的前提下，计算观察误差η(t)系统对应的Laypunov函数V 2 (η(t))对时间的导数，以表明观察误差η(t)的界小于某一表达式，即观测误差足够小；
  4. 计算跟踪误差e(t)系统对应的Laypunov函数V 1 (e(t))对时间的导数，以表明时间区间[t 1 ,t 2 ]上V 1(e(t))是随时间递减的，导出矛盾。

第二步：证明观测误差η(t)随0ε→0而趋于0，也就是ESO的收敛性。其实第一步已经完成大部分推导工作了，因此第二步比较直接：

  1. 在第一步证明结论的基础上，改写∣ xˉ˙n+1 (t)∣上界的形式；
  2. 计算观察误差η(t)系统对应的Laypunov函数V 2 (η(t))对时间的导数，然后对∥η(t)∥的上界进行放缩，获得结论。

第三步：证明跟踪误差e(t)的收敛性，也就是ADRC的稳定性。具体来说，对任意σ>0，存在ε ∗ >0使得对所有ε∈(0,ε ∗ )，∥e(t)∥≤σ对所有t∈[t ε ,∞)均成立，t ε 为与ε有关的常数。
这一步就比较直接了，结合第一步和第二步的结论，直接计算跟踪误差e(t)系统对应的Laypunov函数V 1 (e(t))对时间的导数，得到最终的结论。

至此可以看到ADRC的稳定性分析思路，而不是被其表明复杂的公式唬住。这里想指出的是，ADRC的稳定性分析需要先把系统转换为积分形式，因此当结合具体的应用对象时需要小心，毕竟实际系统不太容易满足ADRC稳定性分析必要的假设条件。相比之下，结合具体的应用对象设计特定形式的ESO，再在控制器设计上做点小改动，然后稳定性分析中利用ESO的分析套路，反倒相对容易产生一篇自己的论文。

总的来说，这里的ADRC的稳定性分析仅具备理论意义（主要用来写论文），因为这里暗含了一个条件，即ε \varepsilonε可以任意小，但任何的实际系统都存在时延，而在考虑时延的前提下，ε \varepsilonε是不能过小的。此外，这里并没有给出ADRC设计参数的指导准则，对于控制工程师来说没有参考价值（所以PID真香）。其实更有意义的是从频域角度分析ESO和ADRC，毕竟ADRC参数选择并不容易，这一方面的工作可以参考高志强老师的相关工作。此外，ADRC并不是万能的，比如当实际系统的扩张状态和系统状态相关时，问题就变复杂了，此时ESO的效果到底如何还真不好说。总之，一旦考虑工程实际，如何将ADRC利用好是个技术活。

参考文献

[1]Guo B Z, Zhao Z L. On convergence of the nonlinear active disturbance rejection control for MIMO systems[J]. SIAM Journal on Control and Optimization, 2013, 51(2): 1727-1757.

[2]Guo B Z, Wu Z H. Output tracking for a class of nonlinear systems with mismatched uncertainties by active disturbance rejection control[J]. Systems & Control Letters, 2017, 100: 21-31.

[3]Khalil H K. Nonlinear systems[M]. Prentice-Hall, 2001.