扩张状态观测器(extended state observer, ESO)是自抗扰控制(active disturbance rejection control, ADRC)的核心组成部分，在自抗扰控制的相关文献中大都会反复出现ESO和ADRC这两个英文缩写词。关于ADRC的具体思想和设计方法可以参见其发明者韩京清的专著[1]，不过，专著[1]中更多地从工程角度对ADRC进行分析，而本文则主要是分析ESO论文证明的套路，也作为自己学习ADRC的一个总结，涉及到的文献则主要为[2]和[3]。

ESO的主要思想在于将包括干扰在内的系统中所有不确定的部分统一视为系统的一个新状态，即对原系统扩张了一个状态，然后设计观测器去估计这个状态。一旦实现对这个新状态的估计，那么在后面的控制律中直接将这个估计值减去，就认为达到了消除不确定性的目的，然后就可以采用任何能够保证剩下已知部分模型稳定的控制律来保证控制性能。从这个角度说，ESO其实承担了ADRC的绝大部分压力，ADRC有效的前提是ESO能够实现对扩张状态快速有效的估计。需要指出的是，ESO在设计过程中也借鉴了现有观测器的经验，而且与HK Khalil的专著[4]中提到的高增益观测器有类似之处，本质上均属于奇异摄动，即需要观测器的状态足够快。特别地，在线性情形下，ESO与文献[5]中的扩张高增益观测器具有相同形式，可见奇妙的思想总是相通的。

下面以文献[2]为主要内容，对ESO的收敛性分析进行说明。控制理论方面的论文喜欢利用微分方程(包括常微分方程和偏微分方程)作为工具进行数学公式推导，从这个角度来说，我一直将控制理论的研究等效描述成微分方程解的稳定性，过分关注数学模型也是导致控制理论和控制工程存在巨大gap很重要的原因，这里不展开说了，毕竟我们这里的关注重点是ESO论文的思路，为想自己撰写ADRC方面论文的读者提供借鉴和参考。

我们主要考虑如下n阶常微分方程描述的模型(或者所谓的积分形式系统)：

参考文献

[1]韩京清. 自抗扰控制技术: 估计补偿不确定因素的控制技术[M]. 国防工业出版社, 2008.

[2]Guo B Z, Zhao Z. On the convergence of an extended state observer for nonlinear systems with uncertainty[J]. Systems & Control Letters, 2011, 60(6): 420-430.

[3]Zhao Z L, Guo B Z. Extended state observer for uncertain lower triangular nonlinear systems[J]. Systems & Control Letters, 2015, 85: 100-108.

[4]Khalil H K. Nonlinear systems[M]. Prentice-Hall, 2001.

[5]Freidovich L B, Khalil H K. Performance recovery of feedback-linearization-based designs[J]. IEEE Transactions on automatic control, 2008, 53(10): 2324-2334.