我们从一个常见的例子说起

一个质量为m的物体，受到一个弹簧和阻尼的共同作用，弹簧的弹力系数为k，阻尼的阻尼系数是B，这样的系统称为质量-弹簧-阻尼系统（mass-spring-damping）。这个系统的输入是$u(t)=f(t)$，输出是弹簧块向右的位移$x$，也就是我们可以通过控制$f(t)$的大小，来控制物体右移的距离。汽车的悬挂系统，以及任何与振动相关的系统都是这种形式。
我们可以通过受力来建立起这个系统的数学模型。物体m受到的向左的力包括弹簧的弹力和阻尼力。

$$f_k=kx,f_B=B\dot{x}\text{\hspace{1em}(1)}$$

根据牛顿第二定律，可以得到如下的方程

$$m\ddot{x}=f(t)-f_k-f_B\Rightarrow m\ddot{x}+f_k+f_B=f(t)\text{\hspace{1em}(2)}$$

我们可以通过Laplace Transform来找到这个系统的传递函数，对两边同时进行拉普拉斯变换，可以得到

$$m{s}^{2}X(s)+BsX(s)+kX(s)=F(s)\text{\hspace{1em}(3)}$$

这样的系统的传递函数就是系统的输出比输入

$$G(s)=\frac{X(x)}{F(s)}=\frac{1}{m{s}^2+Bs+k}\text{\hspace{1em}(4)}$$

状态空间

在现代控制理论中，我们常会用state-space（状态空间）去表达系统的输入，输出和状态变量，而且通常是用一阶微分方程的形式去表达。现在上边的系统是用二阶微分方程去表达的，我们可以选取合适的状态变量去把二阶项消除掉，我们选取这样两个状态

z


1



=


x











z


2



=



x


˙








⇒









z


1



˙



=



x


˙



=



z


2













z


2



˙



=



x


¨



=




f


(


t


)


−


B



x


˙



−


k


x



m



=



1


m



u


(


t


)


−



B


m




z


2



−



k


m




z


1












(5)

$$\begin{matrix} z_1 = x \ z_2 = \dot{x}\end{matrix}$$ \Rightarrow $$\begin{matrix} \dot{z_1} = \dot{x} = z_2 \ \dot{z_2} = \ddot{x} = \frac{f(t) - B\dot{x} - kx}{m} = \frac{1}{m}u(t) - \frac{B}{m}z_2 - \frac{k}{m}z_1 \end{matrix}$$ \tag{5}


z1​=xz2​=x˙​⇒z1​˙​=x˙=z2​z2​˙​=x¨=mf(t)−Bx˙−kx​=m1​u(t)−mB​z2​−mk​z1​​(5)

我们就可以把上边的微分方程写成状态空间表达式的形式，$z_1,z_2$就是系统状态随时间的变化

[








z


1



˙











z


2



˙







]



=



[






0






1









−



k


m









−



B


m








]




[







z


1










z


2







]



+



[






0









1


m







]



u


(


t


)






(6)





\left[

$$\begin{matrix} \dot{z_1} \ \dot{z_2} \end{matrix}$$ \right] = \left[ $$\begin{matrix} 0 & 1 \ -\frac{k}{m} & -\frac{B}{m} \end{matrix}$$ \right] \left[ $$\begin{matrix} z_1 \ z_2 \end{matrix}$$ \right] +\left[ $$\begin{matrix} 0 \ \frac{1}{m} \end{matrix}$$ \right]u(t) \tag{6}


[z1​˙​z2​˙​​]=[0−mk​​1−mB​​][z1​z2​​]+[0m1​​]u(t)(6)
系统的输出$y$可以用下面这种形式表达

y


=


[


1


 


0


]



[







z


1










z


2







]



+


[


0


]


[


u


(


t


)


]






(7)





y = [1 \ 0]\left[

$$\begin{matrix} z_1 \ z_2\end{matrix}$$ \right] + [0][u(t)] \tag{7}


y=[1 0][z1​z2​​]+[0][u(t)](7)

上边的两个式子可以用更一般的通用形式表示

$$\dot{z}=Az+Bu\text{\hspace{1em}(8)}$$

$$y=Cz+Du\text{\hspace{1em}(9)}$$

这就是系统的状态方程的表达形式。

现在来看一下系统的状态方程与传递函数之间的关系。我们对（8）式做拉普拉斯变换

$$s{Z}_{(s)}=A{Z}_{(s)}+B{U}_{(s)}\text{\hspace{1em}(10)}$$

可以得到下面的等式

$$Z_{(s)}=(sI-A{)}^{-1}B{U}_{(s)},I是单位矩阵\text{\hspace{1em}(11)}$$

我们再对（9）式做拉普拉斯变换

$$Y_{(s)}=C{Z}_{(s)}+D{U}_{(s)}\text{\hspace{1em}(12)}$$

将（11）式带入到（12）式中，可以得到

$$Y_{(s)}=C(sI-A{)}^{-1}B{U}_{(s)}+D{U}_{(s)}\text{\hspace{1em}(13)}$$

然后这个系统的传递函数就是

$$G_{(s)}=\frac{Y_{(s)}}{U_{(s)}}=C(sI-A{)}^{-1}B+D\text{\hspace{1em}(14)}$$

如果我们上边那个系统的系数带入到（14）中，我们会得到$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D=\frac{1}{m{s}^2+Bs+k}$。

我们看一下上式中的分母部分，如果令分母$m{s}^2+Bs+k=0$，则此时的$s$为极点，极点将会决定系统的稳定性，我们可以猜测$A$矩阵的特征值也会决定系统的稳定性，是因为在求解上述传递函数的过程中，要求$(sI-A{)}^{-1}$，这时候会用到$(sI-A{)}^{-1}=\frac{(sI-A{)}^{\ast }}{|sI-A|}$，如果令$|sI-A|=0$，这时候$s$就是$A$的特征值，也就是$A$矩阵的特征值同样决定系统的稳定性。如果系统不稳定怎么办？我们就要想办法改造$A$矩阵，这会在后边提起。