相轨迹（phase portrait）是用来分析微分方程解的一种方法，up主将其用于动态系统的分析，可参考下面网站得到绘制工具。
http://comp.uark.edu/~aeb019/pplane.html （似乎已经失效 ）试试 下面的
http://mathlets.org/mathlets/linear-phase-portraits-matrix-entry/
http://www.bluffton.edu/homepages/facstaff/nesterd/java/slopefields.html

相轨迹

我们先从一个一维的简单例子看起，有这样一个方程$\dot{x}=f(x)$，它的图像是这样的，横轴是$x$，纵轴是$\dot{x}$

令$\dot{x}=0$，我们可以得到解$x=x_{01},x=x_{02}$。此时的导数为0，说明此时的$x$是一个常数。我们称此时的$x_{01},x_{02}$是平衡点，也叫fixed point。也就是说，如果你的起始点在$x_{01}$或者$x_{02}$时，你的系统将不会有任何变化，它会保持在这个点。

我们可以通过判断$\dot{x}$的符号判断$x$的变化趋势。在$x_{01}$的左边，$\dot{x}>0$，在$x_{01}$的右边，$\dot{x}<0$，可以判断出$x_{01}$是一个稳定点。在$x_{02}$的左边，$\dot{x}<0$，在$x_{02}$的右边，$\dot{x}>0$，可以判断出$x_{02}$是一个不稳定点。见下图

举例

我们再看一个例子

$$\dot{x}=x-cosx$$

它的平衡点$\dot{x}=0$也就是$x-cosx=0$，如果画图表示的话，在$x_0$的左边，$x$要比$cosx$要小，也就是$\dot{x}<0$，在$x_0$的右边，$x$要比$cosx$要大，也就是$\dot{x}>0$，可以看出$x_0$是一个不稳定的平衡点。

总结

中间博主用相轨迹这种方法分析了两个状态变量下特征根与相轨迹的变化趋势，如下图所示。

系统要想稳定，特征根的实部必须小于0，虚部会带来震荡。