这一章也是我最先看到进而关注up主的一章，特别推荐看原视频（https://www.bilibili.com/video/av15795540 ）。我感觉我记下的笔记应该不如原视频精彩的十分之一。
先看一些基本的假设，假设有一个男孩叫与非，女孩叫梦寒。
用$Y(t)$表示与非对梦寒的爱或者恨，当$Y>0$的时候，与非是爱着梦寒的；当$Y<0$的时候，与非是恨着梦寒的。
同理，梦寒也是一样，用$M(t)$表示梦寒对与非的爱或者恨，当$M>0$的时候，梦寒是爱着与非的；当$M<0$的时候，梦寒是恨着与非的。

case 1

先看第一种情况

$$\dot{Y}=aM$$

$$\dot{M}=-bY$$

已知$a,b>0$，可以得出平衡点为$Y_f=0,M_f=0$，在进行分析之前，我们先来描述一下这个系统。

step1：系统描述
（1）根据这个函数表达式，可以看出与非是个耿直boy，你对我好，我也对你好；你讨厌我，我也不理你。也就是投桃报李+以牙还牙的性格
（2）梦寒则是一个多情的girl，你越热情她越远离；你越冷淡她越着迷，是欲迎还拒+若即若离的性格

step2：计算
我们把这个系统写成状态方程的形式

$$\left[\begin{array}{c}\dot{Y}\\ \dot{M}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& a\\ -b& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}Y\\ M\end{array}\right]$$

通过前面的讲解我们知道可以通过求$A$矩阵的特征值和特征向量来判断系统的表现，在此，我们求矩阵的特征值，令$A$矩阵的行列式为0，也就是$|\lambda I-A|=0$，可以求出$\lambda =\pm \sqrt{ab}i$。我们知道这是一个center，在直角坐标系中可以表示成一个圆。

step3：分析
我们可以看出这是一个无限循环，爱恨交织的世界。我们来看第四象限，当$Y>0$时，$M<0$，同时$\dot{Y}<0$，说明与非的热情在减少当中，当移动到临界点的时候，与非开始讨厌梦寒了，此时$Y<0$，$\dot{M}>0$，也就是梦寒对与非的状态发生了改变，然后到了第二象限，梦寒开始喜欢与非了($M>0$)，而随着梦寒的亲近，与非的热情又被点燃了起来，直到某一刻（进入第一象限），与非又开始喜欢梦寒了，但此时的梦寒呢，又受不了与非的热情，开始变得冷淡了起来，他们就这样无限循环，爱恨交织下去。

step4:讨论
他们有1/4的时间相爱，1/2的时间是一半火焰，一半海洋，1/4的时间是互相看不顺眼。在这1/4看不顺眼的时间内，up主的原话是“离别不过是另一种方式的陪伴，这一刻让我凝望你的眼”。

case 2

再看另一种情况

$$\dot{Y}=-aY+bM$$

$$\dot{M}=bY-aM$$

同样$a,b>0$，可以看出平衡点也都是0。

step1：系统描述
可以看出$Y,M$是一类人，他们都会积极的回应对方（对别人都是正值，$b>0$），同时他们都很小心，都有所保留（对自己都是负值，$-a<0$）。

step2：计算
这个时候的$A$矩阵为

$$A=\left[\begin{array}{cc}-a& b\\ b& -a\end{array}\right]$$

可以计算出特征值为${\lambda }_1=-a+b,{\lambda }_2=-a-b$，特征向量为$v_1=[1,1],v_2=[1,-1]$

step3:分析
我们可以分成两种情况讨论

• case2.1 $|a|>|b|$，此时${\lambda }_1<0,{\lambda }_2<0$
  
  这是一个sink点，随着时间t趋近于无穷，$Y$和$M$终将会变成路人。up主说“十年之后，我们是朋友，还可以问候，却再也找不到拥抱的理由”。
• case2.2 $|a|<|b|$，此时${\lambda }_1>0,{\lambda }_2<0$
  
  这是一个saddle点，他们或者在第一象限共浴爱河，或者在第三象限变成仇敌，这和他们的初始状态有关，也就是和“第一印象”有关，比如说在第四象限$v_2$向量上方的一点相遇，此时$Y>0,M<0$，与非深爱着梦寒，梦寒却有点讨厌与非，在之后的交往中，梦寒逐渐升温（M变大），与非虽然动摇过（Y先减小后增大），但却一直爱着她，这样，终于突破临界点，两个人开始过上了幸福的生活。
  如果说说在第四象限$v_2$向量下方的一点相遇，此时$Y>0,M<0$，与非深爱着梦寒，梦寒非常讨厌与非，在之后的交往中，梦寒逐渐升温，但与非在交往中坚持不了崩溃了，最后两人形同陌路。
  step4：讨论
  我们来讨论一下这两种结果，当$|a|>|b|$的时候，我们实际上在说一个人的自我意识要大于对对方的感受，最后两个人要变成路人，$|a|<|b|$的时候，是说对对方的感受要大于自我意识，这时候会有两种结果，要么共浴爱河，要么因爱生恨。这就验证了很多人宁愿做朋友，也不愿意去打破平衡，也说明了你不认真肯定是赢不了的，但认真的话你可能就输了。