我们先看一下稳定性，看下面的这幅图

A,B,C三个点都是平衡点，把小球放在三个点上，都不会动，A点和C点的区别就是C点是有摩擦的。如果我们让A点的小球小球偏离A点，小球就会无休止的摆下去，如果让B点的小球偏离，则小球永远不会回到B点，如果让C点的小球偏离，因为有摩擦力，偏离平衡点之后，最终小球会逐渐的回到C点。所以我们称A，C点是稳定点，B点不是一个稳定点。

在这里，提出一个不严谨的说法：一个稳定系统，在离开平衡点后的反应随时间衰减，至少不增加。

下面给出一个严谨的数学表达，先看几个符号：
$\forall :$ for all，对于任意给定
$\exists :$ at least one，至少存在一个
$||\cdot ||:$ norm，范数，可以认为是欧式距离，$||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$
定义：李雅普诺夫意义下的稳定性
$${\forall }_{t_0},\forall ϵ>0,\exists \delta (t_0,ϵ):||x(t_0)||<\delta (t_0,ϵ)\Rightarrow \forall t\ge t_0,||x(t)||\le ϵ$$

定义：渐进稳定性
$$\exists \delta (t_0)>0:||x(t_0)||<\delta (t_0)\Rightarrow \underset{x\to \infty }{\lim }||x(t)||=0$$

上面的两个定义比较晦涩，下面这两幅图更容易看懂一些。假设有一个二维系统$\dot{x}=f(x_1,x_2)$，我们把它画在下面的二维系统中，半径分别为$\delta ，ϵ$的两个圆，如果初始状态都在小圆内（D点和E点），李雅普诺夫下的稳定性是指最终稳定在大圆之内，渐进稳定性是指最终会回到原点。

LTI系统

之前提到的可以通过判断$\dot{x}=Ax$中的A矩阵的特征值判断稳定性，假设特征值$\lambda =a+bi$，在这里李雅普诺夫下的稳定性就是指所有的特征值只有非正的实部（$a\le 0$），渐进稳定性是指所有特征值只有负实部（$a<0$）。只要有一个特征值大于0就是不稳定的系统。

非线性系统

求解微分方程可以判断系统稳定性，但比较难，李雅普诺夫方法不用求解微分方程，也可以判断稳定性。
如果$\dot{x}=f(x_0)$，$x=0$是平衡点。
case1：
（i）$V(0)=0$
（ii）




V


(


x


)


≥


0


 


i


n


 


D


−


{


0


}



V(x)\geq0 \ in\ D-{0}


V(x)≥0 in D−{0}，不包括0的定义域
（iii）





V


˙



(


x


)


≤


0


 


i


n


 


D


−


{


0


}



\dot{V}(x)\leq0 \ in\ D-{0}


V˙(x)≤0 in D−{0}
我们称$x=0$是一个稳定的平衡点。
case2：
（i）$V(0)=0$
（ii）




V


(


x


)


>


0


 


i


n


 


D


−


{


0


}



V(x)>0 \ in\ D-{0}


V(x)>0 in D−{0}
（iii）





V


˙



(


x


)


<


0


 


i


n


 


D


−


{


0


}



\dot{V}(x)<0 \ in\ D-{0}


V˙(x)<0 in D−{0}
我们称$x=0$是一个渐进稳定的平衡点。

这里有两个概念：PSD（positive semi definition）半正定，NSD（negative semi definition）半负定。

举例LTI系统

看一个弹簧阻尼系统

这样的一个LTI系统的微分方程是

$$m\ddot{x}+B\dot{x}+Kx=0$$

写成状态方程的形式就是

[








z


1



˙











z


2



˙







]



=



[






0






1









−



K


m









−



B


m








]




[







z


1










z


2







]




\left[

$$\begin{matrix} \dot{z_1} \ \dot{z_2} \end{matrix}$$ \right] =\left[ $$\begin{matrix} 0 &amp; 1 \ -\frac{K}{m} &amp; -\frac{B}{m} \end{matrix}$$ \right] \left[ $$\begin{matrix} z_1 \ z_2 \end{matrix}$$ \right]


[z1​˙​z2​˙​​]=[0−mK​​1−mB​​][z1​z2​​]

平衡点是$z_1=z_2=0$。

我们可以用矩阵特征值的性质来判断一下矩阵特征值的符号，我们知道

$${\lambda }_1+{\lambda }_2=0+(-\frac{B}{m})=-\frac{B}{m}<0$$

$${\lambda }_1\times {\lambda }_2=|A|=\frac{k}{m}>0$$

由上面的两个公式可以推出${\lambda }_1,{\lambda }_2<0$，系统稳定。从实际中也可以知道，无论弹簧的初始状态怎么样，弹簧虽然会震荡，但最终会稳定。

举例非线性系统

假设上面的弹簧拥有了这样的性质

$$f_k=k{x}^3$$

系统就变成了下面这种形式

$$m\ddot{x}+B\dot{x}+k{x}^3=0$$

我们可以设$V=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{4}k{x}^4$，这个公式满足$V(0)=0,V>0$在




D


−


{


0


}



D-{0}


D−{0}，所以$V$是一个正定函数。再看一下$\dot{V}$。

$$\dot{V}=m\dot{x}\ddot{x}+k{x}^3\dot{x}=m\dot{x}(-\frac{k{x}^3}{m}-\frac{B\dot{x}}{m})+k{x}^3\dot{x}=-k{x}^3\dot{x}-B{\dot{x}}^2+k{x}^3\dot{x}=-B{\dot{x}}^2<0$$

$\dot{V}$是一个负定的函数，符合上面的case2的情况，系统是一个渐进稳定的系统。这里面比较难的是如何寻找李雅普诺夫函数，这是一个有技巧性的东西。