模糊控制笔记（一）模糊集合
模糊集合
1. 基本概念
2. 特征函数
3. 模糊集合
表示模糊集合的方法：
1) 向量表示法
2) Zadeh表示法（Zadeh也是模糊集合理论的创始人）
3) 序偶表示法
4. 隶属函数
5. 模糊集合的运算和性质
常用性质：

本文章所有知识点均为作者本人学习刘杰、李允公等老师的教材《智能控制与MATLAB实用技术》时所作笔记，在此发自肺腑地表达对老师们辛勤劳动的感谢和尊敬，也安利一下这本书，对入门智能控制的同学们来说是一本极其优秀的教材！
模糊集合
1. 基本概念
(1) 论域，即为全集，用大写字母表示，X , V 等。
(2) 集合，论域中具有性质p pp的元素的全体称为集合，表示为A={x∣p(x)}。
(3) 并集。A 与B 的并集运算为：
A∪B={x∣x∈A∨x∈B}
其中∨符号表示取大值。
(4) 交集。A 与B的交集运算为：
A∩B={x∣x∈A∧x∈B}
其中，符号∧ 表示取小值。
(5) 补集。A 的补集为A C = { x ∣ x ∉ A } 2. 特征函数
设有集合A ，其特征函数记为
 GA​(x)={1(x∈A)0(x∈/​A)​
1表示元素属于集合，0表示不属于。

特征函数是一个二值函数。

3. 模糊集合
笼统地来说，对于实际中的很多情况，我们无法定量确定其性质，大多数情况下都是用一种“模糊”的概念来描述，如“温度较高”“水位较浅”等，甚至“x 比y大一些”“x 非常大，而y 比较适中”等。在这种情况下，很难确定所描述的对象应该被划在哪种集合里。

相应地，上述问题可以转化为“所描述的对象对于某个集合的隶属度高/不高/比较低（……）”等。

那么，特征函数如果不仅仅取{ 0 , 1 }，而是[ 0 , 1 ] ，这样其取值就不再是二元性的了，而是一种连续的取值。

定义 若对于论域X ，如果存在一实值函数μ A  ，使得
μ A : X → [ 0 , 1 ] 
则A 为论域X 上的模糊集合，特征函数μ A ( x ) 称为隶属函数，表示x 在μ A ( x ) 程度上隶属于集合A AA。μ A ( x ) = 0 
​    
 (x)=0表示x 不属于集合A ，反之则属于。

需要注意的是，很多情况下，隶属度取值的确定是一个主观的定义，答案不唯一。

表示模糊集合的方法：
1) 向量表示法

A=(μA​(x1​),μA​(x2​),⋯,μA​(xn​))

要按顺序写出所有元素的隶属度，不能省略为0的项。

2) Zadeh表示法（Zadeh也是模糊集合理论的创始人）

A=x1​μA/​(x1​)​+x2​μA/​(x2​)​+⋯+xn​μA​/(xn​)​

需要注意，μ A ( x i ) /x i 不是分数，“+”也不是相加。
该方法中，隶属度为0的项可以忽略。

3) 序偶表示法
A={(x1​,μA​(x1​)),(x2​,μA​(x2​)),⋯,(xn​,μA​(xn​))}

4. 隶属函数

隶属函数的确定必须满足的条件：必须使模糊集合为凸模糊集合，即隶属函数的曲线必须是单峰的。

一些基本的隶属函数形式：