1 灵敏度函数的定义

反映参数a的变换对函数f的影响程度，即

[公式]

2 系统变化的灵敏度函数

当d=0时，外部输入r到输出y的闭环传递函数为

[公式]

把P(s)当作变化参数，那么T(s)对P(s)变化的灵敏度函数S为

[公式]

  • 在d=0时，闭环控制系统由r到e的传递函数等于灵敏度函数S。
  • 在r=0时，闭环控制系统由d到y的传递函数等于灵敏度函数S。

[公式]

T(s)称为补灵敏度函数。

  • 为了抑制扰动信号d对输出y的影响，要求灵敏度函数S越小越好；
  • 为了保证控制系统鲁棒稳定性，要求补灵敏度函数T越小越好；

（1）R=0, d->y, 灵敏度函数S;

（2）d=0, R->y, 补灵敏度函数T;

3 最小灵敏度问题

寻找控制器k，镇定P，而且使得灵敏度函数S最小，即

[公式]

4 混合灵敏度

要求灵敏度函数S和补灵敏度函数T的选择，折中处理。考虑寻找满足下列条件的控制器

[公式]

进一步可以写成

其中灵敏度加权函数W1，补灵敏度加权函数W2。

此时的广义控制对象G为

混合灵敏度问题：

寻找控制器K，镇定G, 而且使得

[公式]

5 加权函数的选择

（1）灵敏度决定了系统跟踪误差的大小，越低越好；

（2）补灵敏度决定了系统的鲁棒稳定性，制约了输出信号的大小，降低补灵敏度（提高补灵敏度）会使系统输出更加稳定，二者相互矛盾，需要折中处理；

（3）在保证设计要求的前提下，尽量选择低阶加权函数，获得较为简单的低阶控制器；

（4）一般选择一阶函数；

（5）由于外界干扰主要发生在低频段，所以灵敏度加权函数W1的增益值在低频段应该尽量大，高频段无要求；

（6）补灵敏度加权函数W2具有高通滤波性，W2的截止频率高于W1的截止频率，W32一经选定，就不再改变；

Chenglin Li：古典控制理论（七）频域性能指标9 赞同 · 0 评论文章

（7）选取函数

  • 对于灵敏度函数权重W1--小于控制带宽，高频增益小
  • Low-frequency gain of about 30 dB (33 in absolute units)-低频增益
  • 0 dB crossover at about 5 rad/s.-截止频率
  • High-frequency gain of about –6 dB (0.5 in absolute units)-高频增益
W1 = makeweight(33,5,0.5);
  • 对于补灵敏度函数权重W2--大于控制带宽，高频增益大
W2 = makeweight(0.5,20,20);
  • 绘制bode图
bodemag(W1,W2)
yline(0,'--');
legend('W1','W2','0 dB')
grid on

（8）因为S + T = I，所以mixsyn不能在相同的频率范围内使S和T都变小（小于0 dB）。 因此，当指定权重时，必须有一个频带宽度d，其中W1和W3都低于0 dB。

  • 频带宽度d越大，调节时间越长，响应速度越慢；
  • S增益越大，稳态误差越小；

使用mixsyn来计算具有这些权重的最佳混合灵敏度控制器。 对于此示例，通过将W2设置为[]，不会对控制器的工作造成任何影响。

[K,CL,gamma] = mixsyn(G,W1,[],W3);
gamma

如果所得的gamma值（即所有频率上的奇异峰值）均远低于1，表明闭环系统符合设计要求。

（9）选择示例

[公式]

——2021.04.04——