欧拉角速度与角速度的关系推导——欧拉运动方程

最近研究欧拉角速度与角速度之间的关系，特别折磨，网上的资料要不就是地理学的进动——章动——自转那一套欧拉角与角速度的关系，要不就是陀螺仪那一套欧拉角与角速度的关系，不具有普遍性，因此在大干三天后，将自己的心得写上来供大家参考。

欧拉角

欧拉角的定义不再赘述，简单来说它是确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量。这个东西坏就坏在它有太多种了。绕轴转动的顺序不同（如x-y-z和x-z-y），绕轴转动的类型不同（指绕惯性坐标系x-y-z或刚体固连坐标系x-y’-z’‘），两次转动绕同一轴如（z-x’-z’‘）等等，都会产生不同的欧拉角。而且不同学科不同场合使用的欧拉角不同，甚至同一欧拉角的俗称也不同，带来了非常大的不便。在机器人学中，常用的是以下两种欧拉角：
RPY角 ：指绕惯性坐标系旋转（即绕的轴在整个旋转中是固定不变的），依次绕X轴（roll角），Y轴（pitch角），Z轴（yaw角）进行旋转。
ZYX角：指绕刚体固连坐标系旋转（即绕的轴会随着旋转变化而变化），依次绕z轴（yaw角），旋转后的y’轴（pitch角），两次旋转后的x’‘轴(roll）角进行旋转。
注意，这两种旋转是完全等价的，即若roll，pitch，yaw取相同的值，按这两种过程进行旋转，得到的结果相同。
在一些设计仿真软件（如adams）中，它们的Eular Angel指的是ZYZ角，即绕刚体固连系的z轴，y’轴，z’'轴进行旋转。

角速度

角速度很简单，初中生都知道。但是具体使用起来却容易出错。因为角速度有两种表示方式，一种表示在惯性坐标系，为全局角速度。常用在机器人运动学求解等领域。另一种表示在刚体固连坐标系，为随体角速度。常用在陀螺仪、惯导等领域。这两种角速度在于欧拉角之间进行转换时，思路是不同的。

全局角速度与ZYX欧拉角速率之间的转换