1 ADRC控制原理^[1]

1.1 跟踪微分器（TD）

（1）目的
事先安排过渡过程，提取含有随机噪声的输入信号及其微分信号；
解决PID超调性、快速性之间的矛盾；

（2）数学表达形式

（3）TD结构图

（4）TD滤波功能展示

1.2 扩张状态观测器（ESO）

（1）功能
估计系统内外扰动的实时作用值，并在反馈中给予补偿，用补偿的方法消除扰动的影响，从而具有抗干扰的作用。

（2）ESO的一般设计流程

• n阶单输入单输出系统

• 写成状态空间的形式

• 抽象形式

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+P{x}^{(n+1)}(t)\\ y(t)=Cx(t)\end{array}$$

• 将总扰动扩展为新的状态变量

• 构建线性扩张状态观测器

（3）ESO结构图

1.3 误差补偿控制器

（1）功能
扰动抑制和消减：根据TD得出的给定信号和信号的微分，与ESO观测到的系统输出、输出导数的误差，进而进行控制和扰动补偿。

（2）数学表达式

1.4 ADRC整体模拟框图

2 线性自抗扰控制（LADRC）原理^[2]

不考虑滤波功能的跟踪微分器TD，重新配置ESO和控制器的极点，则可以得到LADRC。

（1）设计LESO

考虑单输入单输出的二阶系统

$$\ddot{x}=f(t,x(t),\dot{x}(t))+bu(t)$$

其中f是系统总扰动，u是控制量，y是被控输出，x是状态变量，b是控制器增益。假设f可微，将其扩展为一个新的状态量，可得

其中 $x_1=y,x_2=\dot{y},x_3=f(t,x,\dot{x})$ 。由Luenberger提出的状态观测器理论，解决了在确定性条件下受控系统的状态重构问题，LESO方程如下

$\{\begin{array}{rl}{\dot{\hat{x}}}_1& ={\beta }_1(y-{\hat{x}}_1)+{\hat{x}}_2,\\ {\dot{\hat{x}}}_2& ={\beta }_2(y-{\hat{x}}_1)+{\hat{x}}_3+bu,\\ {\dot{\hat{x}}}_3& ={\beta }_3(y-{\hat{x}}_1).\end{array}$

对LESO方程拉氏变换可得

$\{\begin{array}{rl}{\hat{x}}_1(s)& =\frac{{\beta }_1^2+{\beta }_{2}s+{\beta }_3}{L^{\ast }(s)}Y(s)+\frac{bs}{L^{\ast }(s)}U(s),\\ {\hat{x}}_2(s)& =\frac{{\beta }_2{s}^2+{\beta }_{3}s}{L^{\ast }(s)}Y(s)+\frac{bs(s+{\beta }_1)}{L^{\ast }(s)}U(s),\\ {\hat{x}}_3(s)& =\frac{{\beta }_3{s}^2}{L^{\ast }(s)}Y(s)-\frac{b{\beta }_3}{L^{\ast }(s)}U(s).\end{array}$

LESO对应的特征方程

$$L^{\ast }(s)=s^3+{\beta }_1{s}^2+{\beta }_{2}s+{\beta }_3$$

观测器特征方程也可以直接从矩阵 $A-GC$ 推出。将观测器的3个极点统一配置到s平面左半实轴 $-{\omega }_o$ 处

$$L^{\ast }(s)=(s+{\omega }_o{)}^3$$

从而可以确定观测器增益

$${\beta }_1=3{\omega }_o,{\beta }_2=3{\omega }_o^2,{\beta }_3={\omega }_o^3$$

（2）设计控制器

在ESO估计出扰动并补偿后，控制器本质上是一个PD控制器。

$$\{\begin{array}{l}e=v-{\hat{x}}_1\\ u_0={\beta }_{01}e-{\beta }_{02}{\hat{x}}_2\\ u=(u_0-{\hat{x}}_3)/b\end{array}$$即

$$\ddot{y}=(f(\cdot )-{\hat{x}}_3)+u_0\approx u_0$$$$\begin{gathered} bu={\beta }_{01}v-\left(\begin{array}{ccc}{\beta }_{01}& {\beta }_{02}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\hat{x}}_1\\ {\hat{x}}_2\\ {\hat{x}}_3\end{array}\right) \\ bu=F\hat{x}+Gv \\ F=-\left(\begin{array}{ccc}{\beta }_{01}& {\beta }_{02}& 1\end{array}\right),G={\beta }_{01} \end{gathered}$$

v是设定被跟踪的信号值，e是跟踪误差， $u_0$ 是虚拟控制量， ${\beta }_{01},{\beta }_{02}$ 是控制器增益。

根据上式计算控制器 $v\to u_0$ 传递函数

$$\varphi (s)=\frac{{\beta }_{01}{s}^2}{s^2+{\beta }_{02}s+{\beta }_{01}}$$特征方程如下

$$C(s)=s^2+{\beta }_{02}s+{\beta }_{01}$$将控制器的两个极点配置到s平面左半实轴 $-{\omega }_c$ 处，从而可以确定控制器增益

$$C(s)=(s+{\omega }_c{)}^2$$

得到控制器增益为

$${\beta }_{01}={\omega }_c^2,{\beta }_{02}=2{\omega }_c$$

上述过程即为LADRC的设计流程。

3 ESO跟踪误差分析

4 ADRC跟踪性能分析

——2020.04.01——

参考

1. ^韩京清.自抗扰控制技术——估计补偿不确定因素的控制技术[M].国防工业出版社:北京,2008:1-end.
2. ^朱斌.自抗扰控制入门[M].北京航空航天大学出版社:北京,2017:36-42.