一、坐标系转动表达方式

1、初等变换矩阵

<1>坐标系变换矩阵

：从坐标系到坐标系的坐标系变换矩阵

 <2>坐标变换矩阵

：为从坐标系到坐标系的坐标变换矩阵；

<3>初等变换矩阵

绕X轴旋转任意一个角度：

绕Y轴旋转任意一个角度：

绕Z轴旋转任意一个角度：

举例：如果导航坐标系（东-北-天），经过三次旋转，旋转顺序：3-1-2(即：分别绕Z轴、X轴、Y轴旋转)得到载体坐标系，其转换矩阵为：

导航系到载体系的方向余弦矩阵为：

注：0系为导航坐标系(东-北-天)，3系为载体坐标系(右-前-上)

2、方向余弦阵微分方程/姿态阵微分方程：

（1）微分方程

（2）方向余弦阵微分方程求解：

注：假设定轴转动，存在不可交换性误差。

3、四元数微分方程：

（1）微分方程：

 （2）四元数微分方程求解：

注：假设定轴转动，存在不可交换性误差。

4、等效旋转矢量微分方程：

（1）微分方程：

简化：

用等效旋转矢量计算m-1时刻与m时刻之间，的变化旋转矢量：

注：等号右边第二项，为修正量；第一项就时间间隔内，陀螺仪积分；其中Δθ为陀螺仪积分；

上式求导为：

5、角速度、姿态阵、四元数、旋转矢量之间的关系

（1）姿态阵与旋转矢量：

（2）四元数与旋转矢量：

注：其中u为单位长度的三维矢量；

或：

（3）姿态阵与四元数关系：

二、描述圆锥运动
1、角运动和圆锥运动：
（1）圆锥现象验证：

具体步骤：通过假设圆锥环境下，

<1> IMU陀螺仪旋转轴和输出轴出现同频不同相的情况，得到三轴角速率；

<2> 利用两个时刻之间，变化四元数；通过四元数微分方程，得到四元数表示的角速度；

通过将<1> 与<2> 进行比较，得到圆锥现象！

（2）圆锥误差补偿算法：

前提是：在圆锥环境下，即Tm-1时刻与Tm时刻的四元数均为圆锥环境下定义的四元数；

<1>利用四元数更新方程，得到周期内的变化四元数，

<2>通过旋转矢量表达式，与<1>中的变化四元数相等，得到周期内的旋转矢量；

<3>将周期内的角速度积分，得到角增量，然后与<2>进行比较，两者做差（<2>减去<3>）即为圆锥运动环境下，的不可交换性误差；

（3）不可交换性误差补偿算法：

多项式角运动环境（基于泰勒级数展开的多子样算法）：

圆锥误差补偿多子样算法：