《Robot Dynamics Lecture Notes》中详细介绍了机器人所需要的矩阵和姿态变换，另外也介绍了WBC中应用的零空间和Task任务控制控制原理，文中后半部分大量涉及浮动基座控制和VMC虚拟模型控制的原理介绍，看完能提高对机器人现在主要控制方法的理解！

反对称矩阵：

B在A系下的位置：

SO3下B到A旋转：

旋转矩阵特性：

将向量U从B系转换到A：

各轴独立旋转：

欧拉角定义轴：转Z YAW 转Y Pith 转X ROl

ZYX MIT标准转换方式：

四元数旋转矩阵：

旋转反对称矩阵：

机体角速度与欧拉角速度映射关系：

MIT论文：（它矩阵的顺序是XYZ，对调后与上式一致）

T变换矩阵：

任务工作空间，相对基座的平移和旋转向量：

正解：

末端位置和角度正解：

雅克比矩阵映射末端速度与关节速度：

例子中，末端位置和末端角度对应的雅克比：

同一参考坐标系下的串联机构雅克比累加：

串联杆末端坐标系 线速度 累加公式（拉格朗日动能计算中的连杆平移动能+旋转动能）：

串联杆 平移和旋转雅克比：

举例，计算各关节相对基座旋转矩阵：

确定旋转：

确定平移：

构建位置雅克比：

旋转雅克比：

雅克比伪逆映射：

J不满秩的最小二乘解既伪逆：

零空间：

零空间向量，控制q0时不改变q：

Multi-task Inverse Differential Kinematics Control：

工作空间雅克比和期望任务速度：

在雅克伪逆映射速度中增加权重矩阵：

任务Task零空间公式：

举例末端速度和末端姿态均有要求：

多体动力学：固定基座

浮动基座：

机械臂重力补偿：

逆动力学控制：（ model-based joint space control）

期望加速度计算：

零空间任务控制，由期望末端速度产生期望关节加速度：

虚拟模型控制Quasi-static (Virtual Model) Control：与MIT QP平衡控制器的静力学分析一致

考虑外部作用力计算期望力矩：

补偿忽略的转动惯量：