总述

神经网络
这是典型的三层神经网络的基本构成

Layer L1是输入层，Layer L2是隐含层，Layer L3是隐含层
我们现在手里有一堆数据{x1,x2,x3,…,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,…,yn},现在要他们在隐含层做某种变换，让你把数据灌进去后得到你期望的输出。
本文直接举一个例子，带入数值演示反向传播法的过程，并会使用python代码表达

正文开始

假设，你有这样一个网络层：
神经网络图

第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；
第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2；
第三层是输出o1,o2，每条线上标的wi是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为sigmoid函数。

初始化

现在对他们赋上初值，如下图：
神经网络初始化

其中
输入数据 i1=0.05，i2=0.10;
输出数据 o1=0.01,o2=0.99;
初始权重 w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;
w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55
目标：给出输入数据i1,i2(0.05和0.10)，使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。

#初始化权重
weights = np.array([[[0.15, 0.20], [0.25, 0.30]], [[0.40, 0.45], [0.50, 0.55]]])

# 输入数据
l0 = np.array([[0.05], [0.10]])

#偏置
bias = np.array([[.35],[0.60]])

#真实值
y = np.array([[0.01],[0.99]])

#学习率
i=0.5

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Step 1 前向传播

1.输入层---->隐含层：

计算神经元h1的输入加权和：

在这里插入图片描述
神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数)：

在这里插入图片描述
同理，可计算出神经元h2的输出o2：
在这里插入图片描述

    #前向传播
    
    #输入层---->隐含层
    temp1 = np.dot(weights[0], l0) +bias[0]
    l1  = 1 / (1 + np.exp(-temp1))
    print("l1",l1)

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l1 [[0.59326999]
 [0.59688438]]

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2.隐含层---->输出层：

计算输出层神经元o1和o2的值：
在这里插入图片描述

这样前向传播的过程就结束了，我们得到输出值为[0.75136079 , 0.772928465]。
这与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。

    #隐含层---->输出层：
    temp2 = np.dot(weights[1], l1) +bias[1]
    l2  = 1 / (1 + np.exp(-temp2))
    print("l2",l2)

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l2 [[0.75136507]
 [0.77292847]]

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Step 2 反向传播

1.计算总误差

总误差：(square error)
在这里插入图片描述
但是有两个输出，所以分别计算o1和o2的误差，总误差为两者之和：

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

    #反向传播
    Error = 1 / 2.0 * (y-l2)**2
    print("Error",Error)

    TotalE = np.sum(Error)
    print("TotalE",TotalE)

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Error [[0.27481108]
 [0.02356003]]
TotalE 0.2983711087600027

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2.隐含层---->输出层的权值更新：

以权重参数w5为例，如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对w5求偏导求出：（链式法则）
在这里插入图片描述

下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的：
在这里插入图片描述

现在我们来分别计算每个式子的值：
计算:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

计算

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
（这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，可以自己推导一下）

计算
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
最后三者相乘：
在这里插入图片描述

这样我们就计算出整体误差E(total)对w5的偏导值。
回过头来再看看上面的公式，我们发现：

在这里插入图片描述
为了表达方便，用
在这里插入图片描述
来表示输出层的误差：

在这里插入图片描述
因此，整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成：
在这里插入图片描述

如果输出层误差计为负的话，也可以写成：
在这里插入图片描述
最后我们来更新w5的值：

在这里插入图片描述
（其中，
在这里插入图片描述
是学习速率，这里我们取0.5）

同理，可更新w6,w7,w8:

在这里插入图片描述

    #隐含层---->输出层的权值更新    
    alphaE1 = - (y - l2)
    alphaE2 = l2 * (1-l2)
    alphaE3 = l1
    
    print("alphaE1",alphaE1)
    print("alphaE2",alphaE2)
    print("alphaE3",alphaE3)
    
    alphaE = alphaE1 * alphaE2 * alphaE3
    print("alphaE",alphaE)
        
    #更新权重
    weightsT1 = weights[1] -  i *  alphaE
    print("weightsT1",weightsT1)

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alphaE1 [[ 0.74136507]
 [-0.21707153]]
alphaE2 [[0.1868156 ]
 [0.17551005]]
alphaE3 [[0.59326999]
 [0.59688438]]
alphaE [[ 0.08216704]
 [-0.02274024]]
weightsT1 [[0.35891648 0.40891648]
 [0.51137012 0.56137012]]

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3.隐含层---->隐含层的权值更新：

方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。

在这里插入图片描述
　计算
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

先计算
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
同理，计算出：
在这里插入图片描述
再计算
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

再计算
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
最后，三者相乘：
在这里插入图片描述
为了简化公式，用sigma(h1)表示隐含层单元h1的误差：

在这里插入图片描述
最后，更新w1的权值：
在这里插入图片描述
同理，额可更新w2,w3,w4的权值：
在这里插入图片描述

这样误差反向传播法就完成了，最后我们再把更新的权值重新计算，不停地迭代

    #隐含层---->隐含层的权值更新：
    alphaE41 =  alphaE1 * alphaE2
    alphaE42 = weights[1]
    alphaE4 = alphaE41 * alphaE42
    print("alphaE41",alphaE41)
    print("alphaE42",alphaE42)
    print("alphaE4",alphaE4)
    
    alphaE4s = alphaE4[0] + alphaE4[1]
    print("alphaE4s",alphaE4s)
    
    alphaE5 = l1 * (1 - l1)
    print("alphaE5",alphaE5)
    
    alphaE6 = l0
    print("alphaE6",alphaE6)
    
    alphaEE = alphaE4s * alphaE5 * alphaE6
    print("alphaEE",alphaEE)
    
    #更新权重
    weightsT2 = weights[0] - i * alphaEE
    print("weightsT2",weightsT2)
    	

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alphaE41 [[ 0.13849856]
 [-0.03809824]]
alphaE42 [[0.4  0.45]
 [0.5  0.55]]
alphaE4 [[ 0.05539942  0.06232435]
 [-0.01904912 -0.02095403]]
alphaE4s [0.03635031 0.04137032]
alphaE5 [[0.24130071]
 [0.24061342]]
alphaE6 [[0.05]
 [0.1 ]]
alphaEE [[0.00043857 0.00049913]
 [0.00087464 0.00099543]]
weightsT2 [[0.14978072 0.19975043]
 [0.24956268 0.29950229]]

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完整python代码

import numpy as np

#初始化权重
weights = np.array([[[0.15, 0.20], [0.25, 0.30]], [[0.40, 0.45], [0.50, 0.55]]])

# 输入数据
l0 = np.array([[0.05], [0.10]])

#偏置
bias = np.array([[.35],[0.60]])

#真实值
y = np.array([[0.01],[0.99]])

#学习率
i=0.5

for j in range(100):

    #前向传播
    
    #输入层---->隐含层
    temp1 = np.dot(weights[0], l0) +bias[0]
    l1  = 1 / (1 + np.exp(-temp1))
    print("l1",l1)
    
    #隐含层---->输出层：
    temp2 = np.dot(weights[1], l1) +bias[1]
    l2  = 1 / (1 + np.exp(-temp2))
    print("l2",l2)
    
    #反向传播
    Error = 1 / 2.0 * (y-l2)**2
    print("Error",Error)
    
    #隐含层---->输出层的权值更新
    TotalE = np.sum(Error)
    print("TotalE",TotalE)
    
    alphaE1 = - (y - l2)
    alphaE2 = l2 * (1-l2)
    alphaE3 = l1
    
    print("alphaE1",alphaE1)
    print("alphaE2",alphaE2)
    print("alphaE3",alphaE3)
    
    alphaE = alphaE1 * alphaE2 * alphaE3
    print("alphaE",alphaE)
    
    #更新权重
    weightsT1 = weights[1] -  i *  alphaE
    print("weightsT1",weightsT1)
    
    #隐含层---->隐含层的权值更新：
    alphaE41 =  alphaE1 * alphaE2
    alphaE42 = weights[1]
    alphaE4 = alphaE41 * alphaE42
    print("alphaE41",alphaE41)
    print("alphaE42",alphaE42)
    print("alphaE4",alphaE4)
    
    alphaE4s = alphaE4[0] + alphaE4[1]
    print("alphaE4s",alphaE4s)
    
    alphaE5 = l1 * (1 - l1)
    print("alphaE5",alphaE5)
    
    alphaE6 = l0
    print("alphaE6",alphaE6)
    
    alphaEE = alphaE4s * alphaE5 * alphaE6
    print("alphaEE",alphaEE)
    
    #更新权重
    weightsT2 = weights[0] - i * alphaEE
    print("weightsT2",weightsT2)
    
    weights[0] = weightsT2
    weights[1] = weightsT1
    
print(Error)

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最后的误差，已经变得很小了

[[0.01405175]
 [0.00634091]]

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参考文档