到目前为止，我们已经掌握机器人的一些基础知识，回忆一下最重要的位形空间-Cspace！

平面2R机器人的位形空间，是一个“甜甜圈”表面。2R机器人自由度数=2，这个“甜甜圈”表面维度数=2。是的，机器人自由度数=机器人位形空间维度数。

位形空间提供了维度-机器人自由度，同时也提供了很重要的位形空间形状。

A.拓扑

举一个简明的列子：有一个足球，把这个足球变大成为一个篮球，或者拉伸足球变为橄榄球，这三个表面（足球表面，篮球表面，橄榄球表面）可以平滑的变形，最重要的是不经过切分和粘合。这种具有相同形状，因此用表面的拓扑来表示，如果两个表面能够连续从一种形状变化到另一种形状（不经过切分和粘合），我们称之为拓扑等效。

拓扑是空间本身的基本特性，它独立于我们选择何种坐标系来表达空间内的参考点。

回忆一下平面2R机器人与著名的“甜甜圈”：

2R机器人与拓扑

B.位形空间描述

对于机器人及其位形空间，一般有隐式形式与显示参数化形式两种方式表达，举个列子------三维球体表面。在球体表面上选取一点X，显示参数化形式---X(L,D)经纬度去表示呀；隐式形式---X(X,Y,Z)在球心建立一个笛卡尔坐标系（限制条件： ）。

我们可以发现，使用n个坐标或者参数表示n维空间的显示参数化方法是有一些问题的，比如你在北极点附近移动，你的经度会变化很快，这就是一种奇异情况；相比而言，隐式表示使用更多的参数与限制条件，这样非常好！球面上任意一点，平滑的沿球面移动，都可以用坐标值(x,y,z)来无奇异的表示。

隐式表示法------将n维空间嵌入在n+1维欧氏空间中表示。对应上面的列子，我们把2维球面嵌入到3维欧氏空间中。

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