0. 简介

在面对二维与三维之间的转换时,我们常常会困惑该如何去转换,在G2O中存在有理想的坐标转换工具,但是在Sophus中却缺乏这样的手段。之前在Sophus处简要的介绍了一下SE(2)与SE(3)的转换,最近发现之前的文章这部分需要拿出来详细的说一说。

1. 欧拉角与旋转向量

欧拉角、旋转向量、四元数和旋转矩阵是Sophus中常常提到的几个名词,欧拉角和旋转向量是类似的,SO(3)的旋转矩阵有9个量,但是只有3个自由度,并且是单位正交矩阵,具有冗余性,对其估计或优化问题的求解不方便。我们可以用一个旋转轴和一个旋转角描述任意旋转。一个方向与旋转轴一致,长度(模)等于旋转角的向量,我们称之为旋转向量(或轴角)

旋转向量到旋转矩阵:

R = cos\theta I+(1-cos\theta)nn^T+sin\theta \hat{n}

其中提到的$\hat{n}$是向量的旋转矩阵,由于是反对称矩阵,所以只存在三个自由度,我们可以$X-Y-Z$轴来规定其反对称矩阵轴:
\hat{n}=\begin{bmatrix} 0 && -{n_z} && {n_y} \ {n_z} && 0 && -{n_x} \ -{n_y} && {n_x} && 0 \end{bmatrix}

所以我们可以从se,so中得到旋转向量数值。而欧拉角对于轴角表示情况,转轴具有2个自由度,转角1个自由度。 根据三次基本转动选取的坐标轴的不同,欧拉角共有12种组合。如 果再考虑到可选取原始坐标系的坐标轴,也可选取“新”坐标系的坐标轴,则共有24种欧拉角表示。一般规定原始坐标系为静坐标系,每个基本转动后形成的新坐标系为动坐标系。

  • 24 种欧拉角表示列举如下:
  • 静轴(即转轴选静坐标系的坐标轴):
    $$sXYZ,sXZY,sXYX,$$

sXZX,sYXZ,sYZX,

sYXY,sYZY,sZXY,

sZYX,sZXZ,sZYZ

动轴(即转轴选动坐标系的坐标轴):

rZYX,rYZX,rXYX,

rXZX,rZXY,rXZY,

rYXY,rYZY,rYXZ,

rXYZ,rZXZ,rZYZ

静轴欧拉角和动轴欧拉角有如下规律:
绕静轴 XYZ 分别 转 α,β,γ 角度的转动与绕动轴 ZYX分别转 γ,β,α 角度的转动等价,其他形式的欧拉角亦有此类似规律。

对于不同的坐标系定义,有不同的转换关系。我们只讨论常用的一种情况:如上图,右手系,Z轴朝上,X轴朝前,y轴朝左。绕Z轴作偏航(Yaw)运动,绕Y轴作俯仰(Pitch)运动,绕X轴作滚转(Roll)运动,运动正方向如上图所示。在这里插入图片描述
对于欧拉角计算公式我们可以得到 α,β,γ 三个角度计算得到的旋转矩阵
在这里插入图片描述
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上式中$R$与旋转次序有关,即当θz,θy,θx不都为小角时,对应于不同的旋转次序,空间坐标系b的最终位置时不同的,这就是有限转动的不可交换性。但是当$θz,θy,θx$都为小角时,忽略小角间的高阶小量,即:Δx→0,cosΔx→1,sinΔx→Δx
R \approx \hat{n}=\begin{bmatrix} 0 && -{n_z} && {n_y} \ {n_z} && 0 && -{n_x} \ -{n_y} && {n_x} && 0 \end{bmatrix}

其中θz,θy,θx角度为弧度,此时$θz,θy,θx$构成的列向量[θz,θy,θx]^T可视为三维空间的(旋转)矢量,此时旋转后的坐标系的最终角位置与旋转次序无关:无限转动与旋转次序无关

2. SE(2)与SE(3)的转换

SE(2),通常是作为二维向量的表示形式,基本的组成部分为$x,y,yaw$三参数,其格式如下:
在这里插入图片描述
SE(3)则是在上式的基础上加入$z$轴,其格式如下:

\begin{bmatrix} x_w \ y_w \ z_w \ 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {c_1 c_3 + s_1 s_2 s_3} && {c_3 s_1 s_2 - c_1 s_3} && {c_2 s_1} && t_wx \ {c_2 s_3} && {c_2 c_3} && -{s_2} && t_wy \ {c_1 s_2 s_3 - s_1 c_3} && {s_1 s_3 + c_1 c_3 s_2} && {c_1 c_2} && t_wz \ 0 && 0 && 0 && 1\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1\end{bmatrix}

在这里插入图片描述














































李群 SO(3) SE(3)
旋转矩阵构建 Sophus::SO3d SO3(R) Sophus::SE3d SE3(R,t)
四元数构建 Sophus::SO3d SO3(q) Sophus::SO3d SO3(q,t)
输出 SO3.matrix() SE3.matrix()
对数映射 Vector3d so3=SO3.log() Vecotr6d se3=SE3.log()
指数映射 SO3d::exp(so3) SE3d::exp(se3)
向量到反对称矩阵 SO3d::hat(so3) SE3d::hat(se3)
反对称矩阵到向量 SO3d::vee(hat) SE3d::vee(hat)

3. 示例代码

Sophus::SE3d Embed3D(const Sophus::SE2d& se2) {
  Sophus::SE3d se3;
  se3.translation() =
      Eigen::Vector3d(se2.translation()(0), se2.translation()(1), 0);
  se3.so3() = Sophus::SO3d::exp(Eigen::Vector3d(0, 0, se2.so2().log()));
  return se3;
}

Sophus::SE2d Project2D(Sophus::SE3d se3) {
  Sophus::SE2d se2;
  se2.translation() =
      Eigen::Vector2d(se3.translation()(0), se3.translation()(1));
  se2.so2() = Sophus::SO2d::exp(se3.so3().log()[2]);
  // Sophus::Vector3d update_se2 (se3.translation()(0), se3.translation()(1), se3.so3().log()[2]);//x,y,yaw
  // Eigen::Quaterniond Q = se3.so3().unit_qurternion();
  // se2  = Sophus::SE2d::exp(update_se2);
  return se2;
}


// 沿三个轴旋转
    Eigen::Matrix3d R = Eigen::AngleAxisd(0.1, Eigen::Vector3d::UnitZ()).matrix() * Eigen::AngleAxisd(0.000, Eigen::Vector3d::UnitY()).matrix() * Eigen::AngleAxisd(0.3, Eigen::Vector3d::UnitX()).matrix(); 
    Eigen::Vector3d rr =  R.eulerAngles(0,1,2);
    Eigen::Vector3d t(1,0,0);

    // 四元数
    Eigen::Quaterniond q(R);
    Sophus::SE3d SE3_R(R,t);              // Sophus::SO3可以直接从旋转矩阵构造

    Sophus::SE2d SE2_ = Project2D(SE3_R);
    Sophus::SE3d SE3_ = Embed3D(SE2_);
    // 二者是等价的
    std::cout << "RPY:\n" << rr << std::endl;
    std::cout << "SE(3) from matrix:\n" << SE3_R.matrix() << std::endl;
    std::cout << "SE(2) from SE(3):\n" << SE2_.matrix() << std::endl;
    std::cout << "SE(3) from SE(2):\n" << SE3_.matrix() << std::endl;
    std::cout << "se(3) from matrix:\n" << SE3_R.log().normalized() << std::endl;
    std::cout << "se(2) from se(3):\n" << SE2_.log().normalized() << std::endl;
    std::cout << "se(3) from SE(2):\n" << SE3_.log().normalized() << std::endl;
    std::cout << "they are equal" << std::endl;

在这里插入图片描述

4. 参考链接

https://blog.csdn.net/qq_28448117/article/details/79644920
https://www.jianshu.com/p/5e130c04a602
https://www.cnblogs.com/zhengjiang/p/11977132.html