精选路径规划算法之刚体变换

无意2121

分类：自动驾驶

发布时间 2023.07.27阅读数 1422 评论数 0

2.3 Combining translation and rotation

3 3D变换

3.1 Yaw, pitch, and roll rotations

3.2 Determining yaw, pitch, and roll from a rotation matrix

3.3 The homogeneous transformation matrix for 3D bodies

本文对机器人运动规划的经典书籍《planning algorithm》进行解析，原文请参考3.2 Rigid-Body Transformations (lavalle.pl)

1 一般概念

假设刚体机器人a被定义为R2或R3的一个子集。刚体变换是一个函数 h: A→W，它将A的每一点映射到W，有两个要求:1)A的任意两点之间的距离必须保持，2)A的方向必须保持(没有“镜像”)。对于某a∈A, h(a)表示W中被a“占据”的点。

这是h的像，表示变换后的机器人占据W中的所有点。形象地说就是机器人坐标系转化到世界坐标系的一个映射。

1.1 基元的变换

上述是一整个刚体进行变换，但是对于一个复杂的机器人，我们通常用多个基元的组合来定义，如

因此变换的函数如下

如果利用逆映射，则变换的函数如下

1.2 一个参数化的变换族

将q定义为参数变量，由q来决定A到W的变换。同时将h(q, a)简化为a(q)，将h(q, A)简化为A(q)。这可以形象地认为将body frame以一定位置和方向放置到world frame。同时我们也区分一下body frame 和 world frame，在一般机器人的运动规划问题中，world frame基本不会变，一般都是机器人运动，也就是body frame不断地在做刚体变换。

2 2D变换

2.1 translation

上面介绍的内容还是相对抽象，本节开始就比较具体了，下面就是刚体变换中平移的映射，

现在考虑用基元定义的A的实心表示形式

当然translation有两种形式，第二种相当于机器人“倒退”（根据相对运动）

2.2 rotation

旋转的映射关系如下

通过2*2的矩阵可以表示为

线性代数中提出左乘矩阵相当于对其进行线性变换，这里就是旋转变换，同时回想一下列向量其实表示新坐标系的基向量。R(θ)的列向量是单位向量，它们的内积为零，也表明它们是正交的，理解了这一步，有助于对高维旋转矩阵的理解

2.3 Combining translation and rotation

平移和旋转我们都已经探究了一遍，现在对平移和旋转结合，也就能达到平面的移动机器人真正在做的刚体变换。因为平移和旋转相互独立，所以能直接进行叠加，将旋转矩阵吸收平移的部分，公式如下

上式左乘的矩阵T被称为齐次变换矩阵。T表示旋转和平移。每个机器人的基元都可以使用T的逆变换，从而得到一个变换后的机器人实体模型。齐次变换矩阵是组合变换的一种简便的表示方法。因此，它经常用于机器人、力学、计算机图形学和其他领域。它被称为齐次变换是因为在R3上它只是一个没有任何平移的线性变换。在射影几何中，增加一维来吸收平移部分的技巧是常见的。