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1、Arnold置乱和逆置乱的数学公式

xn,yn表示像素在原图像中的坐标，xn+1,yn+1表示变换后的像素坐标，a,b为参数，均为正整数且都小于N，变换矩阵行列式满足∣A∣=1，则可逆。因此如下为逆置乱公式：

由此可以看到，只要知道参数ab且知道变换次数的情况下，才能让置乱后的图像复原。

2、图像复原的两种形式

通过逆矩阵

周期性来求变换次数

逆置乱可以让图像复原，除了采用逆置乱复原外还有一种方式，利用周期性，当矩阵进行一定次数变换的时候，会恢复原图，那需要变换多少次才能恢复原图呢？

常规图像的变换次数：

如果遇到非常规尺寸的图像，可以采用如下伪代码进行求解变换次数：
其中A和N是已知的，A是变换矩阵，N是图像尺寸，即可求解。

3、matlab实现置乱与逆置乱

clear all;
close all;
clc;

img=imread('256.bmp');%读取图片，根据Arnold变换的条件，图像必须是正方形
mysize=size(img);%当只有一个输出参数时，返回一个行向量，该行向量的第一个元素时矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数。
if numel(mysize)>2%如果输入是彩色图像
   img=rgb2gray(img); %将彩色到灰度图像的转换
   fprintf("图像为彩色图\n");  %其中\r或者\n表示换行
end
imshow(img,[])
title('彩色原图的灰度图');

figure(2)
imhist(img)	%原图的直方图统计

%如果输入的不是正方形图像，则打印如下
[h,w]=size(img);
if h>w
    img = imresize(img, [w w]);
    fprintf("图像长宽不一样，图像可能失真\r");
end
if h<w
    img = imresize(img, [h h]);  
    fprintf("图像长宽不一样,图像可能失真");
end
[h,w]=size(img);

%置乱与逆置乱必须采用共同参数的时候,就相当于密码，才能解密，让图像复原
n=10;%迭代次数
a=1;b=1;
N=h;%N代表图像宽高，宽高要一样

%置乱操作
imgnnn=zeros(h,w);
for i=1:n
    for y=1:h
        for x=1:w           
            xx=mod((x-1)+b*(y-1),N)+1;   %mod取余操作，(a,b)就是a除以b的余数
            yy=mod(a*(x-1)+(a*b+1)*(y-1),N)+1;        
            imgnnn(yy,xx)=img(y,x);                
        end
    end
    img=imgnnn;
end
imgnnn = uint8(imgnnn);

figure(3)
imshow(img,[])%置乱后的图片
title('置乱后的图片 a=1;b=1，n=10');
imwrite (imgnnn,'置乱后的图片.bmp');  %生成图像保存功能

%逆置乱复原
img2=imread('置乱后的图片.bmp');%读取置乱图片
for i=1:n
    for y=1:h
        for x=1:w            
            xx=mod((a*b+1)*(x-1)-b*(y-1),N)+1;%matlab索引中不能是0，要从1开始
            yy=mod(-a*(x-1)+(y-1),N)+1  ;        
            imgnnn(yy,xx)=img2(y,x);                   
        end
    end
    img2=imgnnn;
end
imgnnn = uint8(imgnnn);
figure(4)
imshow(imgnnn,[])
title('逆置乱的复原图片');
imwrite(imgnnn,'逆置乱的复原图片.bmp');%生成图像保存功能

4、矩阵求幂

由于变换的次数一般很多，比如说变换150次，求一个矩阵的150次方很麻烦，但是后续若想简化计算，直接进行150次方的运算，就需要提前把矩阵求出，方法如下：

在matlab的命令行输入A矩阵，然后给定最终的变换矩阵B，及变换次数150，即可得到想要的矩阵。