数学建模算法学习笔记
作为建模Man学习数学建模时做的笔记

参考文献：
《数学建模姜启源第四版》
网上搜罗来的各种资料，侵删
1.线性预测
levinson durbin算法，自相关什么的，搞不懂

https://max.book118.com/html/2018/1231/8056037133001142.shtm

统计检验量R2（决定系数，接近1为最好）、F（方差统计量，越大越好，R2=1时为无穷，要求远大于临界值，临界值与置信概率α有关，具体查表）、p（p=0.05表示拟合关系有5%是由偶然造成的）、s2（方差）是啥

1.1 简单的线性拟合
1.找出因变量y和所有自变量x
2.分析各个自变量对y的图像，决定影响关系是什么函数，然后将其加起来，得到拟合方程,例如下面这个

ε指随机误差（在计算模型参数的时候一般是忽略的，因为如果模型取得好，随机误差是很小的，满足均值为0的正态分布）

3.直接用Matlab求出参数的值
4.检查参数置信区间，如果有包含0的，说明不合理，需要改进
5.使用残差分析，检查每个自变量与残差的图像分布，结合经验找出需要添加的结合项x i x j,添加到拟合方程中
6.重复以上步骤，直到结果令人满意
7.如果出现不合理的数据，需要去除
1.2 简单的指数拟合
指数规律有以下两种模型

1.Michaelis-Menten模型

2.指数增长模型

其实可以用线性化将非线性模型化为线性模型进行处理，但没必要，详见书本P339

定好模型后直接用matlab算就好

对于模型1来说β 1指曲线趋近值，β 2 指曲线y一半时对应的x值

此外也可以引入0-1变量建混合模型，例如

指数模型的判定看的是标准差，R2和s依然可用

改善可看书本P345
1.3 数据自相关
一般按时间序列进行采样的数据都可能会自相关，即前面的数据会对后面的数据有影响。所以对这类数据，先按正常进程进行建模，然后要对自相关性进行诊断，以此决定是否需要对模型进行改进

自相关在模型中一般在随机误差ε t中表示，如果存在自相关性，则ε t 可如下表示

1.粗看残差之差
将正常建模的残差之差e t − e t − 1 散点图画出，如果能看出是分布于一三象限或者二四象限，则说明具有自相关性
2.Durbin-Watson检验（D-W检验）
首先得到残差计算DW统计量

当n较大时，可做如下近似

这个为自相关系数ρ ρρ的估计值,所以

当算出了DW值之后，就要根据样本容量n和模型的变量数K查D-W分布表，得到d l 和d u的值https://blog.csdn.net/no1stevewang/article/details/50237049

最后根据下图确定ε t 是否自相关

当我们确定存在自相关性之后，可将ρ表示如下

之后做变换（广义差分变换）

就能得到新的，已经考虑了自相关的模型如下（一阶自相关模型）

μt
是和一般的ε一样的随机误差

然后用matlab算这个新的模型就好

算完之后再进行一次自相关性检验，如果还有问题，就再来一遍（可能有其他处理办法）

最后将新模型用上面那个变换换回来，用不带*的符号表示即可

如果DW落在无法确定自相关性的区间，可以设法增加数据量，或者换其他方法

1.4 逐步回归
逐步回归是一种从众多自变量中选取重要变量（对因变量影响大）的方法

matlab有工具可用，原理略

1.5 Y为多分类的情况
例如书本上的冠心病模型，用π ( x ) \pi(x)π(x)表示在年龄x下患冠心病概率

因为从图像可得π ( x ) \pi(x)π(x)类似于S型曲线，所以采用logit（logistic）模型进行拟合

先写出反函数

左边这一块就是logit模型了,当π ( x ) \pi(x)π(x)在[0,1]取值时，l o g i t ( π ( x ) ) logit(\pi(x))logit(π(x))的取值为( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty)(−∞,+∞),能弥补线性模型算出来概率超过1的缺点

这个时候，只需要根据数据算出每个x对应的π ( x ) \pi(x)π(x)，再求出两个参数β 0 和β 1 β_1即可
扔进matlab算就好

可以考虑在右边加入x 2项，可能可以增加准确度，算出来看p值的变化，变小则更好，否则不用加这一项

处理这种问题还有另一种模型，为probit模型，差不多，详见P363

当变量不止一个时，详见P365

1. 数据预处理
   移动平均滤波：用于减少随机干扰对数据采集的影响
   
   
   此外还要加权移动滤波
   
   2.快速傅里叶变换（FFT）：用于检测得到的数据中是否有高频噪声，以决定是否使用FIR滤波
   
   使用对数坐标图会使现象更明显
   2.多分类Y
   例如冠心病模型中，Y只有1（患病）和0（不患病）的情况，这个时候很难直接建模。所以可以采用分组法，将每一个年龄段的1的概率作为新的Y进行建模
   3.元胞自动机
   暂略，让程序负责
   4.模糊综合评价
   这是一个比较主观的用于判断一个事物好坏的方法

以下参考：https://www.bilibili.com/video/BV1LK411P7Qv?from=search&seid=11974302579866908995&spm_id_from=333.337.0.0

下面介绍方法的几个概念

1.因素：想要判断方法A好不好，需要找到几个衡量的指标，这些指标叫做因素，集合为因素集
2.评语：评价方法好坏的等级，好，一般，差等等
下面要对因素1进行评价，例如有α 1 （这里指概率）的人认为方法A有具备这个指标，α 2 的人认为可能有，α 3 的人认为没有，那么可以列出评价矩阵

接下来对因素2进行评价，同理得到评价矩阵

把这两个拼在一起组成综合评价矩阵

接下来列出因素1和因素2的权重集

（权重和为1）

后面开始计算

得到最终结果

如果相加不为1，同除以和0.9即可

最终得到

取最大的0.67，根据前面指标中概率的排序方式，0.67指的就是评价为好的概率

这时可知为好的概率比较大