波特图（Bode Plot）是一种用于描述线性控制系统频率响应的图形表示方法，通常用于分析和设计控制系统。它以控制系统的传递函数（或频域传递函数）为基础，将系统的幅频特性（振幅-频率响应）和相频特性（相位-频率响应）以图形的方式展示出来。可以根据波特图理解和评估系统的稳定性、性能和鲁棒性。

波特图可以指导控制器的设计。通过调整控制器的参数，可以改变系统的频率响应，以满足特定的性能要求。波特图提供了反馈信息，帮助选择合适的控制器类型和参数，以达到期望的控制效果。本文使用串联超前校正、串联滞后校正、滞后-超前校正及PID校正，进行控制器的设计。

三频段理论：

• $L(\omega)$ 低频段↔系统稳态误差，对应系统的开环增益K，系统型别v：

• $L(\omega)$ 中频段↔系统动态性能 $(\sigma \%,t_s )$ ，对应系统的幅值穿越频率 $\omega_c$ ，相角交界频率 $\omega_g$ ，影响系统的幅值裕度h与相角裕度γ，进而也决定了系统的调节时间、峰值时间和超调量等参数：(以二阶系统为例)

希望 $L(\omega)$ 以-20dB/dec 斜率穿越0dB线，并保持较宽的频段

• $L(\omega)$ 高频段↔系统抗干扰能力

频率法串联校正

控制系统串联校正是一种用于改善控制系统性能的校正方法。在控制系统中，由于传感器、执行器、信号传输等因素的影响，系统可能出现响应速度慢、精度不高、稳定性差等问题。串联校正通过在控制系统中插入合适的校正环节，对系统进行调整和校正，以提高系统的响应和控制性能。

串联超前校正

利用超前网络的相角超前特性，将最大的超前角度补偿到系统的幅值穿越频率处，提高系统的相角裕度，进而提升系统稳定性

超前网络传递函数：

幅频曲线最大高度：第一个转折频率为 $\frac{1}{aT}$ ，第二个转折频率为 $\frac{1}{T}$ ，转折频率的倍频比为 $\frac{1/T}{1/aT}$

相角的表达式：

最大相角的频率：

带入相角表达式求出最大相角：

可得：

$\varphi_m$ 与a的关系图：

串联超前校正

• 超前网络特点：相角超前，幅值增加
• 一级超前网络最大超前角为60度
• 最有效的 $a\in(4,10)$ ，取太大高频段会拉高，影响抗干扰能力

超前校正步骤：

给定设定指标( $e_{ss}^*,\omega_c^*,\gamma^*$ )

1. 根据稳态精度 $e_{ss}^*$ 确定校正以前的开环增益K
2. 画出校正前系统 $G_0(s)$ 的幅频特性曲线 $L_0(\omega)$ ，确定幅值穿越频率 $\omega_{c0}$ ，计算相角裕度 $\gamma_0$ ，如果 $\omega_{c0}$ ， $\gamma_0$ 均不足
3. 确定最大超前角： $\varphi_{m}=\gamma^{*}-\gamma_{0}+(5^{\circ}\sim10^{\circ}),a=\frac{1+\sin\varphi_{m}}{1-\sin\varphi_{m}},\quad10\lg a$
4. 作图设计：写出校正装置的传递函数 $G_c(s)$
5. 得到校正后的传递函数： ${{G}}(s)={{G}}_{c}(s)\cdot{{G}}_{0}(s)$ ，并验证幅值穿越频率与相角裕度是否满足要求

例：以知某单位反馈系统的开环传递函数为

要求： $r\left(t\right)=t$ 时， $e_{ss}^{*}\leq0.1、\omega_{c}^{*}\geq5、\gamma^{*}\geq60^{\circ}、h^{*}\geq10dB$ ，确定串联校正装置的传递函数 $G_c(s)$

解：系统传递函数 $G(s)=\frac{K}{s(s+1)}$ ，确定增益K=K，型别v=1

• 根据稳态误差要求确定K：

• 做 $L_0(\omega)$ 的波特图：

得到幅值穿越频率： $\omega_{c0}=3.08$

计算得到相角裕度： $\gamma_0=180^\circ+\varphi(\omega_{c0})=180^\circ-90^\circ-180/\pi*\arctan3.08= 17.9873^\circ$

$\omega_{c0}，\gamma_0$ 均不满足指标要求： $\omega_{c}^{*}\geq5、\gamma^{*}\geq60^{\circ}$ ，使用超前校正

• 采用超前校正：

计算参数a：

• 确定校正装置的传递函数 $G_c(s)=\frac{7Ts+1}{Ts+1}$ ，利用原始系统与-8.8dB线的交点，确定新的幅值穿越频率 $\omega_{nc}=5.5917$ ，并根据公式 $\sqrt{\frac{1}{aT}\frac{1}{T}}=\omega_{nc}$ 确定T的取值，进而得到超前校正的两个转折频率 $\frac{1}{aT}$ 与 $\frac{1}{T}$ ,可以确定校正系统的传递函数

  

  校正之后的系统相角裕度为61.2度，满足要求：

校正前后的nyquist曲线如下图，相角裕度变大，幅值裕度为infdB，满足指标要求。

串联超前校正效果：

• 保持低频段，满足稳态精度 $e_{ss}$
• 改善中频段， $\omega_{c}$ ↑， $\gamma$ ↑ 动态性能提高
• 抬高高频段，抗高频干扰能力降低

串联滞后校正

利用滞后网络幅值衰减特性挖掘系统自身的相角储备，减小幅值穿越频率，获得自身相角储备，同时压低高频段幅值，损失快速性，改善均匀性，提高了高频抗干扰能力。

滞后网络传递函数：

幅频曲线最大高度：第一个转折频率为 $\frac{1}{T}$ ，第二个转折频率为 $\frac{1}{bT}$ ，转折频率的倍频比为 $\frac{1/bT}{1/T}=b$

相角的表达式：

为了减少校正后系统相角裕度损失，将新的截止频率定为第二个转折频率的10倍： $\frac{10}{bT}$

$\varphi_c$ 与b的关系图：

串联滞后校正

• 滞后网络特点：相角滞后，幅值衰减
• 一级滞后网络 $\frac{1}{bT}$ 后10dec处相角最大损失为 $-6^{\circ}$

滞后校正步骤：

给定设定指标( $e_{ss}^*,\omega_c^*,\gamma^*$ )

1. 根据稳态精度 $e_{ss}^*$ 确定校正以前的开环增益K
2. 画出校正前系统 $G_0(s)$ 的幅频特性曲线 $L_0(\omega)$ ，确定幅值穿越频率 $\omega_{c0}$ ，计算相角裕度 $\gamma_0$ ，如果 $\omega_{c0}$ 有余， $\gamma_0$ 不足(或严重不足)
3. 绘制曲线(挖掘系统储备)： $\gamma_c(\omega)=\gamma^*+6^{\circ}\xrightarrow{}\omega_c$
4. 作图设计：写出校正装置的传递函数 $G_c(s)$
5. 得到校正后的传递函数： ${{G}}(s)={{G}}_{c}(s)\cdot{{G}}_{0}(s)$ ，并验证幅值穿越频率与相角裕度是否满足要求

例：以知某单位反馈系统的开环传递函数为

要求： $K_{v}^{*}=30、\omega_{c}^{*}\geq2.3、\gamma^{*}\geq40^{\circ}$ ，确定串联校正装置的传递函数 $G_c(s)$

解：系统传递函数 $G(s)=\frac{K}{s(\frac{s}{5}+1)(\frac{s}{10}+1)}$ :

• 确定增益 $K=K_{v}^{*}=30$ ，型别v=1，注意：这里是K要沿着边界进行设计，K太大会造成幅值曲线高，那么校正时会造成校正装置的转折频率过小，即时间常数T过大，可能在物理系统中无法实现。

• 做 $L_0(\omega)$ 的波特图：

得到幅值穿越频率： $\omega_{c0}=9.77$

计算得到相角裕度： $\gamma_0=180^\circ+\varphi(\omega_{c0})=180^\circ-90^\circ-180/\pi*\arctan(0.1\omega_{c0}))-180/\pi*\arctan(0.2\omega_{c0}))= -17.2^\circ$

指标要求： $\omega_{c}^{*}\geq2.3、\gamma^{*}\geq40^{\circ}$ ， $\omega_{c0}$ 有余而 $\gamma_0$ 不足， 如果使用超前校正，需要补偿的角度大于60度，不可行，使用滞后校正

• 采用滞后校正：取 $\omega_{c1}$ 使：

作 $\gamma_c(\omega)$ 曲线：分析可见：

校正之后的系统相角裕度为44.8度，满足要求：

校正前后的nyquist曲线如下图，相角裕度变大，幅值裕度为14.1dB，满足指标要求。

串联滞后校正效果：

• 保持低频段，满足稳态精度 $e_{ss}$
• 降低中频段， $\omega_{c}$ ↓， $\gamma$ ↑ 损失快速性，改善均匀性
• 压低高频段，高频抗干扰能力提高

串联滞后-超前校正

综合利用滞后网络幅值衰减、超前网络相角超前的特性，改造开环频率特性，提高系统性能

滞后-超前网络传递函数：

可变换为：(注意前面有系数，这里忽略了，但画图不可忽略，否则会造成幅频曲线高度变化)

滞后-超前校正步骤：

给定设定指标( $e_{ss}^*,\omega_c^*,\gamma^*$ )

1. 根据稳态精度 $e_{ss}^*$ 确定校正以前的开环增益K

2. 画出校正前系统 $G_0(s)$ 的幅频特性曲线 $L_0(\omega)$ ，确定幅值穿越频率 $\omega_{c0}$ ，计算相角裕度 $\gamma_0$ ，如果相角裕度需要补偿大于60度(超前拉不起来)，且在 $\omega_c^*$ 处的相角储备也不够(滞后储备不足)，使用滞后-超前校正

3. 确定校正后系统的幅值穿越频率为 $\omega_c^*$ ，当前频率为滞后网络储备相角裕度所能提供的最大值

   确定最大超前角： $\varphi_{m}=\gamma^{*}-\gamma_{0}(\omega_c^*)+6^{\circ},a=\frac{1+\sin\varphi_{m}}{1-\sin\varphi_{m}},\sqrt{a}$

4. 作图设计：写出校正装置的传递函数 $G_c(s)$

5. 得到校正后的传递函数： ${{G}}(s)={{G}}_{c}(s)\cdot{{G}}_{0}(s)$ ，并验证幅值穿越频率与相角裕度是否满足要求

例：以知某单位反馈系统的开环传递函数为

要求： $r\left(t\right)=t$ 时， $e_{ss}^{*}\leq1/126、\omega_{c}^{*}\geq20、\gamma^{*}\geq35^{\circ}$ ，确定串联校正装置的传递函数 $G_c(s)$

解：系统传递函数 $G(s)=\frac{K}{s(\frac{s}{10}+1)(\frac{s}{60}+1)}$ :

• 根据稳态误差要求确定K,v=1：

• 做 $L_0(\omega)$ 的波特图：

得到幅值穿越频率： $\omega_{c0}=32.5$

计算得到相角裕度： $\gamma_0=180^\circ+\varphi(\omega_{c0})=180^\circ-90^\circ-180/\pi*\arctan(\omega_{c0}/10))-180/\pi*\arctan(\omega_{c0}/60))= -11.4^\circ$

指标要求： $\omega_{c}^{*}\geq20、\gamma^{*}\geq35^{\circ}$ ， $\omega_{c0}$ 有余而 $\gamma_0$ 不足：

如果使用超前校正：

$\varphi_{m}=\gamma^{*}-\gamma_{0}+10^{\circ}=35^{\circ}+11.4^{\circ}+{\color{red}10^{\circ+}}=56.4^{\circ}$ 校正系统补偿的度数赶不上因穿越频率增大而下降的度数，超前不可行

如果使用滞后校正：

当 $\omega_{c}^{*}=20$ 时： $\gamma_{0}\left(20\right) =180^{\circ}-90^{\circ}-\arctan\frac{20}{10}-\arctan\frac{20}{60} =90^{\circ}-63.4^{\circ}-18.4^{\circ}=8.2^{\circ}<35^{\circ}=\gamma^{*}$ ，滞后不行

• 采用滞后-超前校正，取 $\omega_{c}=\omega_{c}^{*}=20$ 进行设计，在储备的 $8.2^{\circ}$ 基础上进行相角补偿。

作 $\gamma_c(\omega)$ 曲线：

校正之后的系统相角裕度为37.9度，满足要求：

校正前后的nyquist曲线如下图，相角裕度变大，幅值裕度为11.5dB，满足指标要求。

串联滞后-超前校正效果：

• 保持低频段，满足稳态精度 $e_{ss}$
• 降低中频段， $\omega_{c}$ ～， $\gamma$ ↑ ，相角裕度增大
• 保持高频段，高频抗干扰能力不变

串联PID校正

PID校正网络传递函数：

例：以知某单位反馈系统的开环传递函数为

设计PID控制器，要求： $r\left(t\right)=t$ ， $e_{ss}^{*}\leq0.1、\sigma\%\leq20\%、t_s\leq0.5$ ，确定串联校正装置的传递函数 $G_c(s)$

解：

• 根据频域指标与时域指标的转换图：

• 做 $L_0(\omega)$ 的波特图：

得到幅值穿越频率： $\omega_{c0}=6.12$

计算得到相角裕度： $\gamma_0=180^\circ+\varphi(\omega_{c0})=180^\circ-180/\pi*\arctan(\omega_{c0}))-180/\pi*\arctan(\omega_{c0}/5))-180/\pi*\arctan(\omega_{c0}/30))= 37^\circ$

指标要求： $\omega_{c}^{*}\geq13.6、\gamma^{*}\geq65^{\circ}$ ， $\omega_{c0}$ 与 $\gamma_0$ 均不足：

求在 $\omega_{c}^{*}$ 处的相角裕度：

要补偿的度数大于60度，超前网络不行，储备相角裕度不足，滞后也不行

• 采用PID校正，取 $\omega_{c}=15>\omega_{c}^{*}=13.6$ 进行设计：

确定第二个转折频率 $\omega_{2}$ :

得到传递函数：

作 $\gamma_c(\omega)$ 曲线：

校正之后的系统相角裕度为64.6度，满足要求：

校正前后的nyquist曲线如下图，相角裕度变大，幅值裕度为inf，满足指标要求。

频域指标与时域指标的转换

【自动控制原理(胡寿松)234页】：

 

代码

串联超前校正

clear all;
close;
% 定义传递函数
numerator = [10];
denominator = [1, 1, 0]; 
B=bodeoptions;

% 创建传递函数模型
sys = tf(numerator, denominator);

%画波特图
bode(sys);
hold on;

psi_m=50/180*pi;
a=(1+sin(psi_m))/(1-sin(psi_m));
H=20*log10(a);
half_H=-H*0.5;


% 使用 bode 函数来获取频率和幅值数据
[mag,phase,wout]  = bode(sys);
magdB = 20*log10(mag);


% 找到幅频曲线上幅值最接近 half_H 的频率
[~, index] = min(abs(magdB - half_H));
L=length(wout);
freq_new= wout(index);

T=1/(sqrt(a)*freq_new);
% 定义传递函数
G_c_numerator = [a*T, 1];
G_c_denominator = [1*T, 1];

% 创建传递函数模型
G_csys = tf(G_c_numerator, G_c_denominator);
bode(G_csys);
new_sys=G_csys*sys;
bode(new_sys);
set(findobj(gcf,'type','line'),'linewidth',2);
ax=findobj(gcf,'type','axes');
phase_ax=ax(1);
mag_ax=ax(2);
ax_xlim=phase_ax.XLim;
mag_ylim=mag_ax.YLim;
phase_ylim=phase_ax.YLim;

% hold(mag_ax,'on')
hold on;
plot(mag_ax,[ax_xlim(1) ax_xlim(2)],[0 0],'Color', 'b','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(mag_ax,[freq_new freq_new],[mag_ylim(1) mag_ylim(2)],'Color', 'm','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(phase_ax,[freq_new freq_new],[phase_ylim(1) phase_ylim(2)],'Color', 'm','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(mag_ax,[ax_xlim(1) ax_xlim(2)],[half_H half_H],'Color', 'k','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
% 添加图例
legend(mag_ax,'原始系统', '超前校正', '校正后系统');
figure(2);
margin(new_sys);%Gm幅值裕度 Pm相角裕度 Wcg穿越频率 Wcp剪切频率

figure(3);
% 绘制纳伊斯特图
nyquist(sys);
hold on;
nyquist(new_sys);
legend('原始系统',  '校正后系统');
% 设置图形标题
title('Nyquist Plot');

串联滞后校正

clear all;
close all;

% 定义传递函数的分子和分母
numerator = 30;
denominator = [1/50 3/10 1 0]; % 分母表示为(s)(s/5+1)(s/10+1)

G = tf(numerator, denominator);
% 绘制波特图
bode(G);


psi_c=46;
deg_m=-180+psi_c;

% 使用 bode 函数来获取频率和幅值数据
bode_w= linspace(0.1, 10, 1000);
[mag,phase,wout]  = bode(G,bode_w);
magdB = 20*log10(mag);

[~, index] = min(abs(0 - magdB));
w_c= wout(index);

% 找到最接近deg_m的index
[~, index] = min(abs(phase - deg_m));
freq_new= wout(index);


b=freq_new/30;
T=10/(b*freq_new);
% 定义传递函数
G_c_numerator = [b*T, 1];
G_c_denominator = [1*T, 1];
hold on;
% 创建传递函数模型
G_c = tf(G_c_numerator, G_c_denominator);
bode(G_c);

new_sys=G_c*G;
bode(new_sys);


set(findobj(gcf,'type','line'),'linewidth',2);
ax=findobj(gcf,'type','axes');
phase_ax=ax(1);
mag_ax=ax(2);
ax_xlim=phase_ax.XLim;
mag_ylim=mag_ax.YLim;
phase_ylim=phase_ax.YLim;

hold on;
plot(mag_ax,[ax_xlim(1) ax_xlim(2)],[0 0],'Color', 'b','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(mag_ax,[freq_new freq_new],[mag_ylim(1) mag_ylim(2)],'Color', 'm','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(phase_ax,[freq_new freq_new],[phase_ylim(1) phase_ylim(2)],'Color', 'm','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(mag_ax,[w_c w_c],[mag_ylim(1) mag_ylim(2)],'Color', 'k','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(phase_ax,[w_c w_c],[phase_ylim(1) phase_ylim(2)],'Color', 'k','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
% 添加图例
legend(mag_ax,'原始系统', '滞后校正', '校正后系统');
figure(2);
margin(new_sys);%Gm幅值裕度 Pm相角裕度 Wcg穿越频率 Wcp剪切频率
 
figure(3);
% 绘制纳伊斯特图
nyquist(G);
hold on;
nyquist(new_sys);
legend('原始系统',  '校正后系统');
% 设置图形标题
title('Nyquist Plot');

串联滞后-超前校正

clear all;
close all;

% 定义系统传递函数
G = tf([126], [1/600, 7/60, 1,0]);
% 绘制波特图
bode(G);


freq_new=20;
[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(G);
[mag,phase,wout]  = bode(G);
magdB = 20*log10(mag);

[~, index] = min(abs(20 - wout));
lag_deg= phase(index)+180;
% 
% % 找到最接近deg_m的index
% [~, index] = min(abs(phase - deg_m));
% freq_new= wout(index);
phi_m=(35-lag_deg+6)/180*pi;
a=(1+sin(phi_m))/(1-sin(phi_m));
% a=3.4;
sqrt_a=sqrt(a);
Tb=sqrt_a/freq_new;
Ta=1/(0.1*freq_new); 
w0=Wcp^2/freq_new;
b=w0*Tb;
% 定义传递函数
% 构建系统传递函数  


G_c = tf([1/(1/Ta),1], [1/(1/(b*Ta)),1]) * tf([1/(1/Tb),1], [1/(a/Tb),1]);
% G_c_1 = tf([2, 1], [0.343, 1]) * tf([10.18, 1], [37, 1]);
hold on;
bode(G_c);

new_sys=G_c*G;
bode(new_sys);



set(findobj(gcf,'type','line'),'linewidth',2);
ax=findobj(gcf,'type','axes');
phase_ax=ax(1);
mag_ax=ax(2);
ax_xlim=phase_ax.XLim;
mag_ylim=mag_ax.YLim;
phase_ylim=phase_ax.YLim;

hold on;
plot(mag_ax,[ax_xlim(1) ax_xlim(2)],[0 0],'Color', 'b','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(mag_ax,[freq_new freq_new],[mag_ylim(1) mag_ylim(2)],'Color', 'm','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(phase_ax,[freq_new freq_new],[phase_ylim(1) phase_ylim(2)],'Color', 'm','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(mag_ax,[Wcp Wcp],[mag_ylim(1) mag_ylim(2)],'Color', 'k','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(phase_ax,[Wcp Wcp],[phase_ylim(1) phase_ylim(2)],'Color', 'k','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
% 添加图例
legend(mag_ax,'原始系统', '滞后校正', '校正后系统');
figure(2);
margin(new_sys);%Gm幅值裕度 Pm相角裕度 Wcg穿越频率 Wcp剪切频率
 
figure(3);
% 绘制纳伊斯特图
nyquist(G);
hold on;
nyquist(new_sys);
legend('原始系统',  '校正后系统');
% 设置图形标题
title('Nyquist Plot');

串联PID校正

clear all;
close all;


num = 10;           % 分子多项式系数
den = conv(conv([1 1], [1/5 1]), [1/30 1]);    % 分母多项式系数

G = tf(num, den);   % 创建传递函数模型

bode(G);
% grid on;

freq_new=15;
[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(G);
[mag,phase,wout]  = bode(G);
magdB = 20*log10(mag);

[~, index] = min(abs(15 - wout));
lag_deg= phase(index)+180;

phi_m=(65-lag_deg+6)/180*pi;

w2=freq_new/tan(phi_m);
w0=Wcp^2/freq_new;
w1=w0/w2;


num = [1/(w1*w2), (w1+w2)/(w1*w2), 1];  % 分子多项式系数
den = [1, 0];       % 分母多项式系数
G_c = tf(num, den);      % 创建传递函数对象

hold on;
bode(G_c);

new_sys=G_c*G;
bode(new_sys);



set(findobj(gcf,'type','line'),'linewidth',2);
ax=findobj(gcf,'type','axes');
phase_ax=ax(1);
mag_ax=ax(2);
ax_xlim=phase_ax.XLim;
mag_ylim=mag_ax.YLim;
phase_ylim=phase_ax.YLim;

hold on;
plot(mag_ax,[ax_xlim(1) ax_xlim(2)],[0 0],'Color', 'b','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(mag_ax,[freq_new freq_new],[mag_ylim(1) mag_ylim(2)],'Color', 'm','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(phase_ax,[freq_new freq_new],[phase_ylim(1) phase_ylim(2)],'Color', 'm','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(mag_ax,[Wcp Wcp],[mag_ylim(1) mag_ylim(2)],'Color', 'k','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
plot(phase_ax,[Wcp Wcp],[phase_ylim(1) phase_ylim(2)],'Color', 'k','LineWidth',1, 'LineStyle', '--');
% 添加图例
legend(mag_ax,'原始系统', 'PID校正', '校正后系统');
% 
figure(2);
margin(new_sys);%Gm幅值裕度 Pm相角裕度 Wcg穿越频率 Wcp剪切频率
 
figure(3);
% 绘制纳伊斯特图
nyquist(G);
hold on;
nyquist(new_sys);
legend('原始系统',  '校正后系统');
% 设置图形标题
title('Nyquist Plot');

参考

1. 史忠科,卢京潮.自动控制原理[M].西北工业大学出版社,1998.
2. 【频域分析中的三频段理论】https://blog.csdn.net/qq_39554681/article/details/89459784