1. 向量与基的内积

假设存在一个二维平面内的向量\vec{a},，其在坐标基\vec{e}_1, \vec{e}_2下的坐标值为\left[\begin{matrix}x \ y \end{matrix}\right]

我们这里先看一下向量 \vec{a}自身与坐标基\vec{e}_1的内积。关于内积的原理请参考文章【数理知识】向量数乘，内积，外积，matlab代码实现。这里我们直接使用其结论，即向量的内积为，一个向量在另一个向量方向上的投影长度，乘以被投影向量的长度，如下图所示

用公式描述为

\vec{a} \cdot \vec{e}_1 = \|\vec{a}\| \|\vec{e}_1\| \cos(\theta)

而在我们这里被投影向量为基向量\vec{e}_1，而基向量 \vec{e}_1 其模长|\vec{e}_1|又为 1，因此

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{e}_1 &= \|\vec{a}\| \|\vec{e}_1\| \cos(\theta) \\ &= \|\vec{a}\| \cos(\theta) \end{aligned}

数值上 |\vec{a}| \cos(\theta)等于向量\vec{a}在坐标基 \vec{e}_1上的坐标值。如果坐标基\vec{e}_1我们认为其为横坐标，那么\vec{a} \cdot \vec{e}_1数值上就等于横坐标的值，即

\begin{aligned} a_x &= \vec{a} \cdot \vec{e}_1 \end{aligned}

同理，我们也可以得到\vec{a} \cdot \vec{e}_2数值上等于纵坐标的值。

\begin{aligned} a_y &= \vec{a} \cdot \vec{e}_2 \end{aligned}

最后，公式化描述结论为

\begin{aligned} a_x &= \vec{a} \cdot \vec{e}_1 =\left[\begin{matrix} a_x \\ a_y \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{11} \\ e_{12} \\ \end{matrix}\right] =a_x e_{11} + a_y e_{12} \\ a_y &= \vec{a} \cdot \vec{e}_2 =\left[\begin{matrix} a_x \\ a_y \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{21} \\ e_{22} \\ \end{matrix}\right] =a_x e_{21} + a_y e_{22} \end{aligned},\quad \|\vec{e}_1\| = \|\vec{e}_2\| = 1

2. 二维平面向量举例

接下来基于二维平面上的一个向量来举例。

假设存在一个上述的二维平面向量\vec{a}, 在标准坐标基\vec{e}_1=\left[\begin{matrix} 1 \ 0 \ \end{matrix}\right], \vec{e}_2=\left[\begin{matrix} 0 \ 1 \ \end{matrix}\right]
下的坐标值为\left[\begin{matrix}a_x \ a_y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 \ 4 \end{matrix}\right] 。现在，我们更改坐标基为 \vec{e}_{1^\prime}=\left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} \ \end{matrix}\right], \vec{e}_{2^\prime}=\left[\begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} \ \end{matrix}\right] .

首先验证结论

\begin{aligned} a_x &= \vec{a} \cdot \vec{e}_1 =\left[\begin{matrix} a_x \\ a_y \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{11} \\ e_{12} \\ \end{matrix}\right] =a_x e_{11} + a_y e_{12} \\ &= \left[\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\right] = 3 \times 1 + 4 \times 0 = 3 \end{aligned}

\begin{aligned} a_{x^\prime} &= \vec{a} \cdot \vec{e}_{1^\prime} =\left[\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{11^\prime} \\ e_{12^\prime} \\ \end{matrix}\right] =a_{x} e_{11^\prime} + a_{y} e_{12^\prime} \\ &= \left[\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix}\right] = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} + 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \end{aligned}

通过观察下图，也能大约看出向量\vec{a}在新基\vec{e}_{1^\prime}上的投影长度为 7/\sqrt{2}。

这与坐标图中的效果也是一致的。

往下继续验证结论

\begin{aligned} a_y &= \vec{a} \cdot \vec{e}_2 =\left[\begin{matrix} a_x \\ a_y \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{21} \\ e_{22} \\ \end{matrix}\right] =a_x e_{21} + a_y e_{22} \\ &= \left[\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right] = 3 \times 0 + 4 \times 1 = 4 \end{aligned}

\begin{aligned} a_{y^\prime} &= \vec{a} \cdot \vec{e}_{2^\prime} =\left[\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{11^\prime} \\ e_{12^\prime} \\ \end{matrix}\right] =a_{x} e_{11^\prime} + a_{y} e_{12^\prime} \\ &= \left[\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix}\right] = 3 \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) + 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}

第二个结论同样意味着向量\vec{a}在新基\vec{e}_{2^\prime}上的投影长度为1/\sqrt{2}。

3. 代码验证

a_x = 3;
a_y = 4;
a = [a_x
     a_y];

e_1 = [ 1
        0];
e_2 = [ 0
        1];

e_1_prime = [ sqrt(2)/2
              sqrt(2)/2];
e_2_prime = [-sqrt(2)/2
              sqrt(2)/2];

>> dot(a, e_1)
ans =
     3

>> dot(a, e_2)
ans =
     4

>> dot(a, e_1_prime)
ans =
    4.9497

>> dot(a, e_2_prime)
ans =
    0.7071

Ref

1.