Example 1: A RRR Manipulator

台大机器人学——林沛群

Ik(Inverse Kinematics) problem: given [公式] , [公式]

3Dofs 手臂
frame{3}对地frame{0}的Trans Matrics

现在我们已知：

phi=theta_1+theta_2+theta_3
  1. 求解方法一：几何法，将空间几何切割成平面几何：
  • [公式] 根据余弦定理可以轻松求得; [公式] 有两种情况，已在图中标出;有了 [公式] 与末端角度 [公式] 可以很轻松求出 [公式] 。
量化计算

2.针对同一个例题，根据代数解法进行求解

  • 解 [公式]
3、4平方求和
  • 注意：若右边一堆算出来的解>1或<-1，说明现在已知的这个末端位姿是无法到达的（Too far for the manipulator to reach）
  • 若：右边一堆算出来的解∈[-1,1]，则由两个解： [公式]
  • 接着将求得的 [公式] 带入方程式

可以发现，这里的求解技巧首先是: [公式] ，然后将 [公式] 的系数设为 [公式] 。

  • 接着做变数变换:
    • define : [公式]
    • then: [公式]
  • 带入上式：
很干净的过滤出\theta_1

左侧已知，右侧 [公式] 已知，所以Next Step:

  • 解 [公式]
  • 最后解 [公式]

(小tip) ---- 三角函数方程式求解：

Ex: 如何求得 [公式] 中的 [公式] ？？？

  • 变换：变换到多项式空间(polynomials)，4阶以下均有解析解
  • 于是有：
  • 所以公式解：
注意，a,b,c大小有一定的限制
  • 所以推出 [公式] ：