目录

• 1. 基本问题描述
• 2. 解题步骤
• 3. 快速作用问题与最小化问题之综合
• 4. 相平面图

本节笔记更像是对一类很常见的实际问题所做出的解答，这类实际问题的数学模型十分简单，同时具有较常见的实际意义：要求所需时间最短，同时某个指标最小。针对这一类问题，本节综合之前提到的优化理论给出了解题方法与详尽的分析过程。

本文力图通过对一类简单的问题的分析传达给读者：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。所有的优化理论均是纸上谈兵，涉及到实际问题时，哪怕是最简单的数学模型，在具体的分析过程中也需要考虑到诸多问题，并最后得出一个看似不太合理但实际上能够满足所有（或大部分）需求的控制量u ∘ ( t ) 。实际分析中的具体思考方法，希望读者能够从本文中得到一些灵感。

1. 基本问题描述

给出如下条件

1. 数学模型

从(2)中可以看出，性能指标具有快速作用问题的形式。

2. 解题步骤

参考快速作用问题的笔记（优化方法理论合集（9）——快速作用问题），首先列出哈密尔顿函数

那么x 1 − x 2 的相平面图如下所示。

当u = − A时，有

由(4)(5)可见，x 1 和x 2  的关系是一组抛物线，不论u 取最大还是最小值，所得到的相平面图中均是曲线簇。当s ∗ = s ∗ ∗ = 0 时，曲线过相平面原点。将两者结合，那么相平面具有如下形状：

在上图中，状态点要么沿着蓝色的线运动到原点（曲线M R O ），要么沿着绿色的线运动到原点（曲线M ′ R ′ O ），而原点即为末态。

3. 快速作用问题与最小化问题之综合

现设想如下情况：

现在需要求出最优控制量u ∘ ( t )，使得H → max ⁡ 。

在(8)中，影响H 取值的即为u。把所有含有u 的项提取出来单独研究：

具有式(11)性质的函数称为死区函数y = d e z ( x )，这是典型的非线性函数，连续但不可导，其示意图如下所示（图中y即为控制量u，x 即为ψ 2  ）。

那么，式(10)中u 可以写成

图中，ψ 2 ( t )在t 1处从大于1变成小于1，在τ处穿过横轴，在t 2 处从大于-1变成小于-1，在t k 处终止。
而相应地，可以绘制出u ∘ ( t ) ：

4. 相平面图

而完整的相平面图如下图所示：