引言

我们已经知道如何已知角度去推算机械臂末端的位置，那么如何由位置反推出机械臂到达需求位需要的角度呢？  

逆向运动学

基本过程就是已知手臂末端点的位置{H}（机器手head）或者该坐标系相对于世界坐标系{W}的向量，求出关轴的角度\large \Theta。根据题目题目难度，有时候可以直接求解出角度\large \Theta，有时候需要借助\large _{H}^{W}\textrm{T}矩阵算出角度\large \Theta。   其中求解方法大致分为如下几种方法：解析法（几何法、代数法等）和数值法。  

目录

几何法

代数法

数值法

综合例题

Tips:从多个解中选择的方法

 

几何法

顾名思义，直接利用几何关系和定理求解即可。在这里直接引出经典的PUMA机械臂案例。 【举例】已知\large x、\large y、\large \varphi，如何求\large \Theta _{1}、\large \Theta _{2}、\large \Theta _{3}。( \large x、\large y 为坐标点、\large \varphi = \large \Theta _{1} + \large \Theta _{2} + \large \Theta _{3} )   微信图片_20201112171204   【求解过程】   微信图片_20201112171220   上图表明了 \large \Theta _{1} 取决于 \large \Theta _{2} 的正负。当\large \Theta _{2}<0时，\large \psi属于绿色三角形。当\large \Theta _{2}>0时，\large \psi属于蓝色三角形。 得到如图关系式后，就可以开始代入求解了。   微信图片_20201112171236  

代数法

  【例题】和上面例题一样   微信图片_20201112171255   【求解过程】   微信图片_20201112171309   微信图片_20201112171321   代数，并使用极坐标知识，可以得出：（小声bb:现在才知道高中数学的重要性....）   微信图片_20201112171342   微信图片_20201112171358  

数值法

列出每个关节的T矩阵，让电脑自己往里面带入数据，数字一个一个跑，直到求出解为止。   反算出\large \Theta的方法不止一种。由于数值法对电脑算力有要求，解析法（几何法、代数法）因为不需要举出大量数字让计算机去逼近求解，而且求逆矩阵快，所以大部分情况下使用的是解析法求解。然而想要让机械臂能够使用解析法求解，机械臂的设计就要满足一个条件——存在相邻的三轴相交于同一点，这个也称为 Pieper's Solution。   相关例子 使用经典的符合Pieper条件的PUMA手臂作为例题 ，有\large _{}^{0}\textrm{P}_{6 org}=\large _{}^{0}\textrm{P}_{4 org}。 由于前三轴是负责移动的，后三轴负责转动的，为了方便分两步走。   （1）求解 \large \Theta _{1}、\large \Theta _{2}、\large \Theta _{3} （代数法） 由之前讲过的T矩阵的特性，可以得出这个：   微信图片_20201112171419   使用代数法运算，为了方便求解，我们先定义好代数式 f, g   微信图片_20201112171440   可以知道f 是有关\large \Theta _{3} 的函数，g为有关\large \Theta _{2}、\large \Theta _{3} 的函数，展开有：   微信图片_20201112171512   微信图片_20201112171528   在这里先假设代数 K：   微信图片_20201112171549   微信图片_20201112171604   然后加入并定义代数 r，就有：   微信图片_20201112171624   可以知道r是有关\large \Theta _{2}、\large \Theta _{3} 的函数。 由于高度Z本身和\large g_{3}有关，所以它也是一个有关\large \Theta _{2}、\large \Theta _{3} 的函数。   微信图片_20201112171648   到这一步我们已经得到两个不用考虑\large \Theta _{1}，且与\large \Theta _{2}、\large \Theta _{3} 有关的函数了，联立起来，有：   微信图片_20201112171710   即可联系已知求解\large \Theta _{3}，然后再依次求解出\large \Theta _{1}、\large \Theta _{2}。   微信图片_20201112171734   （2）求解 \large \Theta _{4}、\large \Theta _{5}、\large \Theta _{6} 由上式已知我们的\large \Theta _{1}、\large \Theta _{2}、\large \Theta _{3}，并且我们的4，5，6关节都符合pieper条件，就可以直接通过下式算出答案：   微信图片_20201112171800   【这里的求解过程参考（2）】  

综合例题

  微信图片_20201112171831   【解题过程】   微信图片_20201112171858   微信图片_20201112171923   微信图片_20201112171953   微信图片_20201112172037   微信图片_20201112172105   微信图片_20201112172118   微信图片_20201112172205  

Tips:从多个解中选择的方法

  微信图片_20201112172236   感谢：课程内容、PPT来自林沛群教授的课程《机器人学》!!!