本节介绍拉格朗日方程的首次积分，前面介绍的拉格朗日方程需要求两次导数，但在某些情况下，拉格朗日方程可以进行一次积分，减小计算量，这也是哈密顿力学的简单铺垫。

5. 拉格朗日方程的首次积分

对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。首次积分分为能量积分和循环积分两种。

能量积分

如果拉格朗日函数中不显含时间  ，则

根据保守场的拉格朗日方程，可得

因此

即

故

将上式称为广义能量积分。

接下来我们分析质点系动能的构成

上式三项从左到右分别为：广义速度的二次齐次函数  、广义速度的一次齐次函数  、广义速度的零次齐次函数  ，即有

这就是质点系的动能构成。

我们补充齐次函数的欧拉定理：

齐次函数：
若 ，把  称为  次齐次函数。
欧拉定理：
若函数  为  次齐次函数，则 。

根据齐次方程的欧拉定理，我们可以写出

那么，由于  ，有

因此有

这就是拉格朗日方程积分得到的广义能量守恒，当拉格朗日函数不显含时间  时，保守系统的广义能量守恒。

若质点系所受的都是定常约束，  ，此时有

原守恒式变为  ，此为机械能守恒式。

循环积分

如果拉格朗日函数  中不显含某一广义坐标  ，则将该坐标称为循环坐标或可遗坐标。当  为系统的循环坐标时，有

则拉格朗日方程为：

积分得

将上式称为循环积分；事实上

将  称为广义动量，上式表示保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。

例2-5. 如图2-6所示，一个小球在光滑旋转圆环上滑动，圆环的转角设为  ，试写出其运动方程，以及拉格朗日方程的首次积分式。

解：

首先，我们定义旋转系  与旋转系  ，如图所示，有：

其中  表示  系相对惯性系  的角速度。可以写出小球的速度：

其中  表示在惯性系  下，小球（记为  ）相对于惯性系原点（记为 ）的速度。由此可写出动能与势能：

拉格朗日函数：

可以发现拉格朗日函数并不显含广义坐标  与时间  。列写保守场的拉格朗日方程：

广义坐标  ：

广义坐标  ：

这两式即运动方程，接下来计算拉格朗日方程的首次积分。由于拉格朗日函数不显含时间  ，有能量积分：

这实际上是系统的机械能守恒式，可以根据系统约束为定常约束直接列写。

由于拉格朗日函数不显含广义坐标  ，有循环积分：

这就是系统关于广义坐标  的广义动量守恒式，我们可以发现，其具有角动量的形式，实际上，这是角动量守恒式在  方向的分量。

之前内容：

参考文献：F. Daqaq. Dynamics of particles and rigid bodies: a self-learning approach[M]. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2018.