背景知识
导航坐标系：东-北-天
载体坐标系：右-前-上
一、平衡环架
平衡环架（英语：Gimbal）为一具有枢纽的装置，使得一物体能以单一轴旋转。由彼此垂直的枢纽轴所组成的一组三只平衡环架，则可使架在最内的环架的物体维持旋转轴不变，而应用在船上的陀螺仪、罗盘、饮料杯架等用途上，而不受船体因波浪上下震动、船身转向的影响。
上图就是一个Gimbal装置了，它是一个陀螺仪。中间有一根竖轴，穿过一个金属圆盘。金属圆盘称为转子，竖轴称为旋转轴。转子用金属制成，应该是了增加质量，从而增大惯性。竖轴外侧是三层嵌套的圆环，它们互相交叉，带来了三个方向自由度的旋转。
看着不停转来转去，有点晕，接下来看两个静态的。这两张图来自百度百科。
其中Gimbal只代表陀螺仪装置中的平衡环，显然维基百科上将它解释成“平衡环架”更为合理。
二、陀螺仪
1、进动性：
当转子高速旋转时，若外力矩作用于外环轴，陀螺仪将绕内环轴转动；若外力矩作用于内环轴，陀螺仪将绕外环轴转动。其转动角速度方向与外力矩作用方向互相垂直。
2、定轴性/稳定性：
当陀螺转子以高速旋转时，在没有任何外力矩作用在陀螺仪上时，陀螺仪的自转轴在惯性空间中的指向保持稳定不变，即指向一个固定的方向；同时反抗任何改变转子轴向的力量。
3、陀螺仪根据制造工艺和原理特性分类：
4、陀螺仪测角速度示意图：
沿着机身横轴/X轴进行旋转，为pitch，俯仰角。
沿着机身纵轴/Y轴进行旋转，为Roll，横滚角。
沿着机身立轴/Z轴进行旋转，为Yaw，航向角。
陀螺仪工作示意图：
这里，我把三个Gimbal环用不同的颜色做了标记，底部三个轴向：
- 绿色：Y轴 滚转
- 红色：X轴 俯仰
- 蓝色：Z轴 航向
假设现在这个陀螺仪被放在一艘船上，船头的方向沿着+Z轴，也就是右前方
Roll: 现在假设，船体发生了摇晃，是沿着前方进行旋转的摇晃，也就是桶滚。由于转子和旋转轴具有较大的惯性，只要没有直接施加扭矩，就会保持原有的姿态。由于上图中绿色的活动的连接头处是可以灵活转动的，此时将发生相对旋转，从而出现以下的情形：
Pitch:再次假设，船体发生了pitch摇晃，也就是俯仰。同样，由于存在相应方向的可以相对旋转的连接头（红色连接头），转子和旋转轴将仍然保持平衡，如下图：
Yaw:最后假设，船体发生了yaw摇晃，也就是偏航，此时船体在发生水平旋转。相对旋转发生在蓝色连接头。如下图：
陀螺仪中的万向节死锁
现在看起来，这个陀螺仪一切正常，在船体发生任意方向摇晃都可以通过自身调节来应对。然而，真的是这样吗？
假如，船体发生了剧烈的变化，此时船首仰起了90度（这是要翻船的节奏。。。。），此时的陀螺仪调节状态如下图：
此时，船体再次发生转动(横滚角)，可以看出航向角已经和俯仰角耦合在一起了；
现在，转子不平衡了，陀螺仪的三板斧不起作用了。它失去了自身的调节能力。那么这是为什么呢？
三、万向节死锁：
空间中的任意两个矢量，都可以通过平动和转动得到；也即6个自由度；通常利用加速度计和陀螺仪来实现这种关系。以转动为例，三维空间中的一个矢量，经过三次坐标系基本旋转可以得到另外的一个矢量；其中，有12中旋转顺序：
首先旋转X、Y、Z轴任意一轴，有三种可能；然后旋转第一次为旋转的任意一轴，有两种可能；最后旋转除去第二次旋转轴，的任意一轴；总计：3*2*2=12种方式。
万向节死锁现象本质就是转动由3个自由度变为2个自由度！
通常对于飞控、惯性导航种的影响/考虑有几下几种：
（1）某一个轴向角度出现奇异点；
（2）是不是只有旋转矩阵相乘中会出现这种现象？
（3）“转动”中的描述方式，有几种？
（4）万向节死锁应该怎么避免？还是系统固有属性，无法避免？
（5）……
针对上面有可能的疑问，下面进行解读：
首先根据《捷联惯导算法与组合导航原理讲义》中的附录，给出三种欧拉角的定义：
定义1：欧拉角定义：3-1-2旋转，（航向角-俯仰角-滚转角）；
θ为俯仰角；γ为横滚角；ψ为航向角；
- 航向角北偏西为正，范围【-pi pi】；
- 俯仰角， 运载体抬头时角度定义为正，角度范围-90° ～90° ；
- 横滚角，运载体向右倾斜时角度定义为正，角度范围-180° ～180°
（1）其方向余弦矩阵为：
（2）根据方向余弦矩阵可以得出运载体的欧拉角：
定义2：欧拉角定义：3-1-3旋转，（航向角-俯仰角-航向角）；
θ为俯仰角；γ为横滚角；ψ为航向角；
- 航向角北偏西为正，范围【-pi pi】；
- 俯仰角， 运载体抬头时角度定义为正，角度范围-90° ～90° ；
（1）其方向余弦矩阵为：
（2）根据方向余弦矩阵可以得出运载体的欧拉角：
由于是3-1-3旋转，因此，所求欧拉角为：航向角、俯仰角、航向角；既：α、β、γ
角度求解：
或：
可以看出，在β为±90°时，并不存在奇异点；但是当β为0°时，存在奇异点！
而且，此种3-1-3旋转方式，没有明确的物理意义！
定义3：欧拉角定义：3-2-1旋转，（航向角-滚转角-俯仰角）；
θ为俯仰角；γ为横滚角；ψ为航向角；
- 航向角北偏西为正，范围【-pi pi】；
- 俯仰角， 运载体抬头时角度定义为正，角度范围-90° ～90° ；
- 横滚角，运载体向右倾斜时角度定义为正，角度范围-180° ～180°
（1）其方向余弦矩阵为：
（2）根据方向余弦矩阵可以得出运载体的欧拉角：
由于是3-2-1旋转，因此，所求欧拉角为：航向角、滚转角、俯仰角；既：ψ、γ、θ
可以看出，按照3-2-1旋转，最终在横滚角为±90°时，存在奇异点；一般令航向角为0°，进而求出俯仰角。
四、总结：
万向节死锁/奇异点本质为：三个自由度变为两个自由度(丢失一个自由度)；
构建方向余弦矩阵通常是绕X、Y、Z轴中的某一个或两个轴，三次旋转而成；因此，奇异点最直观的表征就是欧拉角的计算；通过上面分析可以看出：
定义1：3-1-2旋转，（航向角-俯仰角-滚转角）：其奇异点存在于俯仰角为±90°时，横滚角和航向角存在多值性，一般假设航向角为0读，去求解横滚角。
定义2：3-1-3旋转，（航向角-俯仰角-航向角）：其奇异点存在于β为0°时，但是求解的欧拉角没有直观的物理意义。
定义3：3-2-1旋转，（航向角-滚转角-俯仰角）：其奇异点存在于俯仰角为±90°时，横滚角和航向角存在多值性，一般假设航向角为0读，去求解横滚角。
答：
（1）坐标系的相互变换可以通过：旋转矩阵、四元数、欧拉角等方式去描述，但是奇异点是一种客观存在，并且根据旋转顺序的不同，可以看出对于同一个空间状态变化，有多种欧拉角（多种旋转矩阵）表现形式，共计12种旋转方式；其中每一种旋转矩阵在求解欧拉角时都存在奇异点！
（2）欧拉角：非常直观，我们可以很容易理解它的意思，也能想象出对应的空间位置，但是存在万向锁现象，导致后面有很多数学问题。
（3）旋转矩阵：旋转矩阵有9个元素，计算繁杂，尤其是求微分时，而且也不直观。
（4）四元数：没有奇点，能表征任何旋转关系，而且表示简单，只有四个元素，计算量小，但是不直观。
参考链接：
https://andrewfanchina.github.io/UnityLabs/Euler/
《捷联惯导算法与组合导航原理讲义》
《坐式垂直起降无人机的一种姿态解算算法的设计》
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