我们在使用某个训练集训练机器学习模型的过程中，通常会计算在模型训练集上的损失函数来度量训练误差，损失越小，说明模型训练的越好。
但是在实际情况中，我们不仅仅是要求模型在训练集上表现好，我们更希望的是模型在未得到训练的数据集上也有良好的表现，这种在未知的数据集上表现良好的能力称为泛化。

我们当然希望泛化误差越小越好。但是在降低训练误差和测试误差的过程中，我们通常面临着机器学习的两个挑战：过拟合和欠拟合。
所谓欠拟合，是指模型不能够在训练集上获得足够低的误差；过拟合相反，是指在 训练集上表现优异，但是在测试集上表现较差。
于是我们需要解决模型的过拟合问题，提高模型的泛化能力。
正则化是解决过拟合问题的有效手段。

如图所示：
图一是欠拟合的表现结果：考虑的特征点较少，无法有效区分蓝色和红色
图二是过拟合的表现结果：将不必要的特征一起考虑，模型几乎没有泛化能力
图三是模型最佳的表现结果：完美。。。

如何正则化

我们先从网上搬来正则化的概念

正则化(Regularization) 是机器学习中对原始损失函数引入额外信息（注意这个额外信息，这是一个比较难理解的地方，下面会有解释），以便防止过拟合和提高模型泛化性能的一类方法的统称。也就是目标函数变成了原始损失函数+额外项，常用的额外项一般有两种，英文称作ℓ1−normℓ1−norm和ℓ2−normℓ2−norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数（实际是L2范数的平方）。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓惩罚是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。

L1和L2正则化的区别如下：

L1正则化可以使得参数稀疏化，即得到的参数是一个稀疏矩阵，可以用于特征选择。
稀疏性，说白了就是模型的很多参数是0。通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，很多参数是0，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，即使去掉对模型也没有什么影响，此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这相当于对模型进行了一次特征选择，只留下一些比较重要的特征，提高模型的泛化能力，降低过拟合的可能。

L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合。

我们首先来看一下损失函数的形态
$E(x)=\underset{w}{\min }[{\sum }_{i=1}^n(w^T{x}_i-y_i{)}^2]$
其中$E(x)$称为损失函数；
$w$是权重，也就是机器学习需要训练的参数
$w^{T}x$是计算结果
$y_i$是真实结果

我们认为这个值越小，我们的计算结果和实际结果越接近。理论上，当这个值为0时，预测结果与实际结果完全吻合。这个时候显然过拟合的情况已经发生，模型没有泛化能力。也就是说模型失去了预测新输入数据的能力。

那么我们如何解决这个问题？就像上面说的一样，我们应该给这个模型添加一个约束，限制最终参数的大小及范围。
我们把公式稍微改变一下：
$E(x)=\underset{w}{\min }[{\sum }_{i=1}^n(w^T{x}_i-y_i{)}^2]+\lambda {\Vert w\Vert }_2^2$
这里我们直接在原有的损失函数里面添加L2范数（L2范数可以有效的防止过拟合）

那么问题来了，为什么L2范数可以有效防止过拟合？
我们为了提高模型的泛化能力，拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是抗扰动能力强。
注意：这里关于让权值尽可能小这一点，之前楼主一直不能理解原因，甚至以为是让权值数量尽可能减少。这里说明一下，L1范数可以减少权值数量，L2范数就是让系数变小而已。
没听懂不要紧，我们有图有真相

注意看上面这幅图，我们从左往右说：
1，最左边这幅图像，明显欠拟合。我们可以看这条蓝色的线（计算机计算出来的曲线），这几乎是一条直线，如果对这条线求导，导数几乎是一个常量，也就是说这条线在感受野内，任你输入如何变化，它就是没反应。。。
2，中间这幅图像，拟合度刚好，我们可以发现中间这条蓝色线条变化很平缓，我们对这条线进行求导，可以想象在感受野内，导数的的变化很平缓
3，最右边这幅图像，蓝色的线条和原图匹配程度最高，但是很显然，线条抖动的非常剧烈，这种情况下，我们的输入数值发生微小的变化，曲线都会发生剧烈的抖动。这就意味着函数在某些小区间里的导数值（绝对值）非常大，由于自变量值可大可小，所以只有系数足够大，才能保证导数值很大。

最右边的这种情况也很好的提示了我们防止过拟合的主要方法，就是抑制权重参数过大。加入惩罚项后， 只要控制λ的大小，当λ很大时，$w_1$到$w_n$就会很小，即达到了约束数量庞大的特征的目的。

数学公式的解释
(1) 以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θθ，hθ(x)hθ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下：

$J_{\theta }=\frac{1}{2n}{\sum }_{i=1}^n(h\theta (x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$

(2)在梯度下降中θθ的迭代公式为：

${\theta }_j={\theta }_j-\alpha \frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(h\theta (x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}$

(3) 其中$\alpha$是learning rate。 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式为：

${\theta }_j={\theta }_j(1-\alpha \frac{\lambda }{n})-\alpha \frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(h\theta (x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}$

其中$\lambda$就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，${\theta }_j$都要先乘以一个小于1的因子，从而使得${\theta }_j$不断减小，因此总得来看，${\theta }_j$是不断减小的。
最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

L1与L2正则化的区别

前面说过，L1正则化可以使得参数变得稀疏，L2正则化可以防止过拟合。同时，一定程度上，L1也可以防止过拟合。
那么这是为什么呢？
这里我们可以图形化形象的说明这一点。为了便于图形化显示，同时为了方便理解，我们假定输入参数是仅包含2个特征，即权重只有2个$w_1$和$w_2$，我们设$w_1$为横坐标，$w_2$为纵坐标。分别表示出损失函数和范数的等值线图。

如上图所示，蓝色的圆圈代表损失函数的等值线图，红色代表范数的等值线图。其中红色圆圈代表L2范数，红色菱形代表L1范数。
等值线图就是输出值相等的情况下，$w_1$和$w_2$的取值在平面内的投影组成的图像。

从上图很容易发现，对于L1范数，损失函数和范数首次相交的点（这些也是最优解所在的点）很容易落在坐标轴上，此时的权值参数取值为零，这就是L1范数可以稀疏化矩阵的原因。
L2范数与损失模型首次相交的点则很难有机会落在坐标轴上，因此L2范数很难对矩阵系数化。

可能很多人想象不出来，为什么L1范数是正方形、L2范数是圆形。首先说一下，我们现在看到的图是投影，那么我们现在看一下他们实际的图的形状。

参考文献：

https://www.cnblogs.com/zingp/p/10375691.html
http://www.pianshen.com/article/466177633/