1 引言

运动学研究操作臂的运动特性，而不考虑使操作臂产生运动时施加的力。在操作臂运动学中，将要研究操作臂的位置、速度、加速度以及位置变量的所有高阶导数（包括对时间或其他变量的导数）。因此，操作臂运动学涉及所有与运动有关的几何参数和与时间有关的性质。操作臂的运动和使之运动而施加的力和力矩之间的关系称为操作臂动力学，将在第6 章进行研究。

在本章中，只研究静止状态下操作臂连杆的位置和姿态。在第5章和第6章中，将要研究操作臂运动时的速度和加速度。

为了便于处理操作臂的复杂几何形状，首先需要在操作臂的每个连杆上分别设置一个连杆坐标系，然后再描述这些连杆坐标系之间的关系。除此之外，操作臂运动学还研究当各个连杆通过关节连接起来后，连杆坐标系之间的相对关系。本章的研究重点是把操作臂关节变量作为自变量，描述操作臂末端执行器的位置和姿态与操作臂基座之间的函数关系。

2 连杆的描述

操作臂可以看成由一系列通过关节连接成运动链的刚体。我们将这些刚体称为连杆。通过关节将两个相邻的连杆连接起来。当两个刚体之间的相对运动是两个平面相互之间的相对滑动时，连接相邻两个刚体的运动副称为低副。图3-1所示为6种常用（转动副移动副的低副关节。圆柱副，平面副）在设计操作臂的结构时，通常优先选择仅具有一个自由度的关节作为连杆的连接方式。大部分操作臀中包括转动关节或移动关节。在极少数情况下，采用具有n个自由度的关节来构成操作臂机构，这种机构可以看成是用n个单自由度的关节把一1个长度为。的连杆连接而成的。因此，不失一般性，这里仅对只含单自由度关节的操作臂进行研究。

设计人员在进行机器人设计时，需要考虑典型机器人中单个连杆的许多特性：材料类型、连杆的强度和刚度、关节轴承的类型和安装位置、外形、重量和转动惯量以及其他一些因素。然而，在建立机构运动学方程时，为了确定操作臂两个相邻关节轴的位置关系，可把连杆看作一个刚体。用空间中的直线来表示关节轴。关节i可用空间中的一条直线，或用一个向量来表示，连杆i绕关节轴之相对于连杆i一1转动。由此可知，在描述连杆的运动时，一个连杆运动可用两个参数描述，这两个参数定义了空间中两个关节轴之间的相对位置。

三维空间中的任意两个轴之间的距离均为一个确定值，两个轴之间的距离即为两轴之间公垂线的长度。两轴之间的公垂线总是存在的，当两轴不平行时，两轴之间的公垂线只有一条。当两关节轴平行时，则存在无数条长度相等的公垂线。在图3-2中，关节轴之一1和关节轴 之间公垂线的长度为Q-1，Q-1即为连杆长度。也可以用另一种方法来描述连杆i一1的长度a-1，以关节轴主一1为轴线作一个圆柱，并且把该圆柱的半径向外扩大，直到该圆柱面刚好与关节轴之相交时，这时圆柱的半径即等于Q-1。

图3-2_连杆的运动学功能是保持连杆两端关节轴的相对关系。该关系可以用两个参数描

述：连杆的长度a和连杆扭转角a

用来定义两关节轴相对位置的第二个参数为连杆扭转角。假设作一个平面，并使该平面与两关节轴之间的公垂线垂直，然后把关节轴i—1和关节轴i投影到该平面上，在平面内按照右手法则从轴之一1绕Q-1转向轴i测量两轴线之间的夹角，用转角a-1定义连杆i 1的扭转角。在图3-2中，a-」表示关节轴一1和关节轴之之间的夹角。（上面带有三条标线的两条线为平行线。当两个关节轴线相交时，两轴线之间的夹角可以在两者所在的平面中测量，但是a-没有意义。在这种特殊情况下，a-1的符号可以任意选取。

可以用上面定义的两个参数，即连杆的长度和扭转角来定义空间中任意两条直线的关系（在这里是用来定义两个关节轴之间的关系）。

3 连杆连接的描述

把机器人的各个连杆连接起来时，设计人员还要考虑和解决许多问题。包括关节的强度，关节的润滑方式、轴承以及齿轮的安装。然而在研究机器人的运动学问题时，仅需要考虑两个参数，这两个参数完全确定了所有连杆是如何连接的。

处于运动链中间位置的连杆

相邻的两个连杆之间有一个公共的关节轴。沿两个相邻连杆公共轴线方向的距离可以用一个参数描述，该参数称为连杆偏距。在关节轴；上的连杆偏距记为d。用另一个参数描述两相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角，该参数称为关节角，记为8。

图3-4表示相互连接的连杆i一1和连杆i。根据前面的定义可知Q-1表示连接连杆一1两端关节轴的公垂线长度。同样，a；表示连接连杆i两端关节轴的公垂线长度。从公垂线Q-1与关节轴；的交点到公垂线Q；与关节轴；交点的有向距离即为描述相邻两连杆连接关系的第一个参数，即连杆偏距d。连杆偏距 d，的表示方法如图3-4所示。当关节：

为移动关节时，连杆偏距d，是一个变量。平移公垂线a-1和a：绕关节轴之旋转所形成的夹角即为描述相邻两连杆连接关系的第二个参数，即关节角0，如图3-4所示。图中，标有双斜线的直线为平行线。当关节i为转动关节时，关节角0，是一个变量。

运动链中首端连杆和末端连杆

连杆的长度a；和连杆扭转角a；取决于关节轴线；和i十1，因此在本节中按从到QA-1以及从a1到a，-1的规定讨论。对于运动链中的两端的连杆，其参数习惯设定为0，即ao an=0.0，a0=a=0.09。在本节中，按照上面的规定对关节2到关节n一1的连杆偏距d：和关节角8；进行了定义。如果关节1为转动关节，则8、的零位可以任意选取。