本文是IIR数字滤波器设计,如果需要了解模拟滤波器或者FIR的内容,可以看我写的另外两篇博客,如下:
1.巴特沃斯模拟滤波器(低通,高通,带通,带阻)设计-MATLAB实现
3.MATLAB实现有限脉冲响应数字滤波器(FIR)
1. 基础知识介绍
我们首先明确一个知识(这个非常重要):
某正弦信号,频率为50Hz
这意味着 信号的模拟频率 f = 50 (Hz),注意它的单位是Hz
信号的表达式为
注意!!!
模拟滤波器设计中用的频率是指模拟角频率 Ω
数字滤波器设计中用的频率是指归一化数字角频率 w
模拟滤波器设计中用的频率是指模拟角频率 Ω
数字滤波器设计中用的频率是指归一化数字角频率 w
模拟滤波器设计中用的频率是指模拟角频率 Ω
数字滤波器设计中用的频率是指归一化数字角频率 w
2. 数字滤波器简介
数字滤波器特点:
输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占有不同的频带,我们需要通过一个合适的选频滤波器滤除干扰,得到纯净信号。
3.IIR与FIR介绍
3.1 如何选择
数字滤波器可以分为:无限脉冲响应(IIR)数字滤波器、有限脉冲响应(FIR)数字滤波器两种
我们一般使用IIR即可,因为它设计起来较为方便,当某个滤波器要求线性相位时,我们才使用FIR。
3.2 设计方法
对IIR滤波器,我们一般采用间接法来设计,即先按照参数设计好一个模拟滤波器,然后将其变换为数字滤波器,因为模拟滤波器的理论和设计方法比较成熟。
对FIR滤波器,我们一般采用窗函数设计法。
4.无限脉冲响应(IIR)数字滤波器设计
4.1 函数介绍
(1)buttord - 求解滤波器的阶数N和3dB截止频率wc
[N,wc] = buttord(wp, ws, Rp, As)
该函数用于求解巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc
输入参数如下:
通带边界数字频率wp、阻带边界模拟频率ws(对pi归一化数字角频率,单位是rad)
通带最大衰减Rp、阻带最小衰减As(单位是dB)
注:因为设计的是数字滤波器时,所以没有’s’这个参数了。
(2)butter - 求解N阶滤波器的具体参数B和A,求解完B和A后滤波器就设计完成了。
[B, A] = butter(N, wc, ‘ftype’)
该函数用于求解N阶巴特沃斯数字滤波器的具体参数B和A,求解完B和A后滤波器就设计完成了。
输入参数如下:
N - 滤波器阶数
wc - 3dB截止数字频率wc (单位rad,N和wc都是用buttord函数计算出来的)
ftype - 滤波器类型‘’:
当输入wc为一维向量时:
设计低通滤波器时ftype不填,设计高通滤波器的话令ftype=high
当输入wc为二维向量[wcl,wcu]时:
设计带通滤波器时ftype不填,设计带阻滤波器的话令ftype=stop
(3)filter - 滤波函数
y = filter(B,A,x)
这个就是滤波函数了,x是输入的有噪声的信号,B,A就是设计好的滤波器参数,得到的输入y就是滤波后的信号了。
4.2 直接调用Matlab函数求解
(1)低通滤波器
例: 设计数字低通滤波器,wp = 0.2 π rad,Rp = 1 dB, ws = 0.3 π rad, As = 15 dB,采样频率1Hz。
求解这个问题我们需要用到以下两个函数:
[N,wc] = buttord(wp, ws, Rp, As)
[B, A] = butter(N, wc, ‘ftype’)
注意!!!
函数涉及到的频率都是对 pi 归一化后的数字角频率,单位是rad
所以 wp = 0.2 pi / pi = 0.2 ws = 0.3 pi / pi = 0.3
代码如下
wp = 0.2;
ws = 0.3;
Rp = 1;
As = 15
[N, wc] = buttord(wp, ws, Rp, As);
[B, A] = butter(N, wc);
至此,数字低通滤波器设计完成了,如果有输入噪声信号x的话,调用y = filter(B,A,x),得到的y就是滤波后的信号了。
接着我们画出数字低通滤波器的幅频特性曲线,代码如下:
%画图
w = 0 : 0.01 * pi : pi;%取点,从0-pi,每隔 0.01 pi 取一个点
Hk = freqz(B,A,w);%对于取的每个点,求该处的频率响应得下
figure
plot(w / pi, 20 * log10(abs(Hk)));%横坐标单位是数字频率对pi的归一化值,纵坐标单位是dB,
grid on;
%设置横纵坐标标签
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('幅度/dB');
%设置横纵坐标轴范围
axis([0, 1, -100, 5]);
得到的结果如下所示:
(2)高通滤波器
例: 设计数字低通滤波器,wp = 0.3 π rad,Rp = 1 dB, ws = 0.2 π rad, As = 15 dB.采样频率1Hz。
求解这个问题我们需要用到以下两个函数:
[N,wc] = buttord(wp, ws, Rp, As)
[B, A] = butter(N, wc, ‘ftype’)
函数涉及到的频率都是对 π 归一化后的数字角频率,单位是rad
所以wp = 0.3 pi / pi = 0.3 ws = 0.2 pi / pi = 0.2
代码如下:
wp = 0.3;
ws = 0.2;
Rp = 1;
As = 15
[N, wc] = buttord(wp, ws, Rp, As);
[B, A] = butter(N, wc,'high');
至此,数字高通滤波器设计完成了,
如果有输入噪声信号x的话,调用y = filter(B,A,x),得到的y就是滤波后的信号了。
接着我们画出数字高通滤波器的幅频特性曲线,代码如下:
%画图
w = 0 : 0.01 * pi : pi;%取点,从0-pi,每隔 0.01 pi 取一个点
Hk = freqz(B,A,w);%对于取的每个点,求该处的频率响应得下
figure
plot(w / pi, 20 * log10(abs(Hk)));%横坐标单位是数字频率对pi的归一化值,纵坐标单位是dB,
grid on;
%设置横纵坐标标签
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('幅度/dB');
%设置横纵坐标轴范围
axis([0, 1, -100, 5]);
结果如下:
(3)数字带通滤波器
例: 设计数字带通滤波器,采样频率Fs = 8kHz,保留2025 - 2225 Hz的部分,幅度失真小于1dB,滤除1500Hz以下和2700Hz以上部分的噪声,衰减大于40dB。
数字频率
代码如下:
Fs = 8000 %采样频率
fpl = 2025; %通带较小频率
fpu = 2225; %通带较大频率
fsl = 1500; %阻带较小频率
fsu = 2700; %阻带较大频率
ws = [2 * fpl / Fs, 2 * fpu / Fs];
wp = [2 * fsl / Fs, 2 * fsu / Fs];
Rp = 1;
As = 40;
[N, wc] = buttord(wp, ws, Rp, As);%此时输入wp和ws都是二维的,输出wc也是两维的
[B, A] = butter(N, wc);
至此,数字带通滤波器设计完成了,如果有输入噪声信号x的话,调用y = filter(B,A,x),得到的y就是滤波后的信号了。
接着我们画出数字带通滤波器的幅频特性曲线,代码如下:
%画图
w = 0 : 0.01 * pi : pi;%取点,从0-pi,每隔 0.01 pi 取一个点
Hk = freqz(B,A,w);%对于取的每个点,求该处的频率响应得下
figure
plot(w / pi, 20 * log10(abs(Hk)));%横坐标单位是数字频率对pi的归一化值,纵坐标单位是dB,
grid on;
%设置横纵坐标标签
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('幅度/dB');
%设置横纵坐标轴范围
axis([0, 1, -100, 5]);
画图结果如下:
(4)数字带阻滤波器
例: 设计数字带阻滤波器,采样频率Fs = 8kHz,保留1500Hz以下和2700Hz以上部分的部分,幅度失真小于1dB,滤除2025 - 2225 Hz的噪声,衰减大于40dB。
代码如下:
Fs = 8000; %采样频率
fpl = 1500; %通带较小频率
fpu = 2700; %通带较大频率
fsl = 2025; %阻带较小频率
fsu = 2225; %阻带较大频率
wp = [2 * fpl / Fs, 2 * fpu / Fs];
ws = [2 * fsl / Fs, 2 * fsu / Fs];
Rp = 1;
As = 40;
[N, wc] = buttord(wp, ws, Rp, As);%此时输入wp和ws都是二维的,输出wc也是两维的
[B, A] = butter(N, wc,'stop');
至此,数字带阻滤波器设计完成了,如果有输入噪声信号x的话,调用y = filter(B,A,x),得到的y就是滤波后的信号了。
接着我们画出数字带阻滤波器的幅频特性曲线,代码如下:
%画图
w = 0 : 0.01 * pi : pi;%取点,从0-pi,每隔 0.01 pi 取一个点
Hk = freqz(B,A,w);%对于取的每个点,求该处的频率响应得下
figure
plot(w / pi, 20 * log10(abs(Hk)));%横坐标单位是数字频率对pi的归一化值,纵坐标单位是dB,
grid on;
%设置横纵坐标标签
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('幅度/dB');
%设置横纵坐标轴范围
axis([0, 1, -100, 5]);
画图结果如下:
4.3 脉冲响应不变法设计
- 脉冲响应不变法就是先计算模拟滤波器对应的参数,设计好模拟滤波器,接着使用impinvar函数转为数字滤波器。
- 脉冲响应不变法一般只能用来设计低通和带通滤波器,对于高通和带阻滤波器容易出现频谱混叠现象。
- 按照这两个参数设计模拟低通滤波器
-
% 脉冲响应不变法低通 Fs = 1; %采样频率 %此处的wp和ws都是模拟角频率 wp = 0.2 * pi * Fs; ws = 0.35 * pi * Fs; Rp = 1; As = 10; %低通模拟滤波器设计,注意加上's' [N, wc] = buttord(wp, ws, Rp, As,'s'); [Bs, As] = butter(N, wc, 's'); %把模拟滤波器转换为数字滤波器 [B,A] = impinvar(Bs, As, Fs);
-
至此,脉冲响应不变法的数字低通滤波器设计完成了
如果有输入噪声信号x的话,调用y = filter(B,A,x),得到的y就是滤波后的信号了。
接着我们画出数字低通滤波器的幅频特性曲线,代码如下:
-
%画图 w = 0 : 0.01 * pi : pi;%取点,从0-pi,每隔 0.01 pi 取一个点 Hk = freqz(B,A,w);%对于取的每个点,求该处的频率响应得下 figure plot(w / pi, 20 * log10(abs(Hk)));%横坐标单位是数字频率对pi的归一化值,纵坐标单位是dB, grid on; %设置横纵坐标标签 xlabel('\omega / \pi'); ylabel('幅度/dB'); %设置横纵坐标轴范围 axis([0, 1, -100, 5]);
- 结果如下:
-
4.4 双线性变换法设计
与脉冲响应不变法不同,双线性变化法利用下式 - 然后设计模拟滤波器,再转化为数字滤波器滤波器设计代码如下:
-
%双线性变化法低通 T = 1; wpz = 0.2 * pi; wsz = 0.3 * pi; Rp = 1; As = 15; wp = (2 / T) * tan(wpz / 2); %双线性变换 ws = (2 / T) * tan(wsz / 2);%双线性变换 [N, wc] = buttord(wp, ws, Rp, As,'s'); [Bs, As] = butter(N, wc, 's'); [B,A] = bilinear(B,A, 1/T);%将模拟滤波器转化为数字滤波器
-
至此,双线性变换法的数字低通滤波器设计完成了
如果有输入噪声信号x的话,调用y = filter(B,A,x),得到的y就是滤波后的信号了。
接着我们画出数字低通滤波器的幅频特性曲线,代码如下:
-
%画图 w = 0 : 0.01 * pi : pi;%取点,从0-pi,每隔 0.01 pi 取一个点 Hk = freqz(B,A,w);%对于取的每个点,求该处的频率响应得下 figure plot(w / pi, 20 * log10(abs(Hk)));%横坐标单位是数字频率对pi的归一化值,纵坐标单位是dB, grid on; %设置横纵坐标标签 xlabel('\omega / \pi'); ylabel('幅度/dB'); %设置横纵坐标轴范围 axis([0, 1, -100, 5]);
- 绘图结果如下:
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