三维空间的刚体运动
点与坐标系
旋转矩阵
旋转向量和欧拉角
四元数

点与坐标系
2D的情况：用两个坐标加旋转角表达
3D的情况：？
在描述3D的情况前，可以先描述一些基本概念：
坐标系、点、向量、向量的坐标

坐标系(参考系)任何运动都是相对的，需要一个参考系。只能说哪个东西在某个参考系下看起来是怎样的运动、它位于什么位置等等。参考系一般是由三个轴组成的迁移空间的一个基，基向量，正常情况下这三个基向量都是彼此正交的。有两种不同的定义方式，左手系和右手系，除大拇指外的四个指头从x转到y，大拇指的方向如果向上就是右手系，反之左手系，两种方式没有优劣之分，在这里我们采用右手系。

若要讨论运动，一般是在坐标系讨论的。而且往往会讨论到几个坐标系，有一些坐标系是固定的，一些坐标系是运动的，一般我们关心多少个物体就考虑多少个坐标系。
比如一个相机在世界当中运动，这时候建立两个坐标系。一个是世界坐标系，一个是相机坐标系。

我们要关心的是这两个坐标系之间的变换是怎么样子的。
例如：建立一个点P，这个点在两个坐标系的位置是不一样的，已知P在世界坐标轴的位置，如何去变换到相机坐标轴下的坐标？

如果是一个机器人的话，那这样会更加复杂，比如机器人本体需要建立一个坐标系，机械臂也需要建立一个坐标系，激光雷达也会有一个坐标系。如果知道每一个坐标系的位置坐标关系，就可以很方便地讨论某一个数据在一个坐标系下的运动情况，在另一个坐标系下的运动情况。

在世界坐标系中，由于坐标系由三个互相正交的向量基组成，向量P可以由三个基的线性组合所构成，且唯一。向量表示为：

然后我们就可以讨论同样的一个P，它在另一个坐标系下是如何表示的，这几个坐标之间是如何 这是本节所要讨论的问题。

向量的运算可由坐标运算表达
加法和减法
其中两向量的加法和减法，可以使用平行四边形法则来表示。

内积 ： 点乘

会根据右手法则得到一个同时与a和b都垂直的一个向量
这个运算也可以由行列式的方式写出来，右式由i，j，k的分量表示。

在了解向量得到运算之后，来探讨以下问题。

如何描述坐标系与坐标系之间的变化？
如何计算同一个向量在不同坐标系里的坐标？

坐标系之间的变化可以直观地表示为：原点间的平移+三个轴的旋转
那么平移是向量，旋转是什么？

旋转矩阵
考虑一次旋转：
坐标系（e1，e2，e3）发生了旋转，变成（e1`，e2`，e3`）
向量α不动，那么它的坐标如何变化？

旋转向量和欧拉角
旋转矩阵R有九个元素，但仅有三个自由度，能否以更少的元素表达旋转？
答案是肯定的，除了旋转矩阵，还有旋转向量、欧拉角以及四元数可以表达旋转。

旋转向量：方向为旋转轴，长度为转过的角度 ；称为角轴/轴角（Angle Axis）或旋转向量（Rotation Vector）

旋转向量与矩阵不同：仅有三个量，无约束，更直观

假如知道旋转轴和转过的角度，要计算旋转矩阵R，则需要用到罗德里格斯公式：

**欧拉角：**将旋转分解为为三个方向上的转动，轴可以是定轴或动轴（转之前的x轴或转之后的x轴），顺序亦可不同。常见的有yaw-pitch-roll（Z-Y-X）。使用欧拉角优点是非常直观，缺点是定义非常混乱，使用比较复杂，还有一个严重的问题就是万向锁（Gimbal Lock），在某种特定的情况下，会出现奇异性，就是减少掉一个自由度。
比如 Yaw-Pitch-Roll 顺序下，当Pitch为90度时，存在奇异性，即yaw和roll方向一样。

由于万向锁的存在，欧拉角不适合插值或迭代，多用于人机交互中，可以证明：仅用三个实数表达旋转时，不可避免地存在奇异性问题，所以SLAM中也很少用欧拉角表示姿态。

四元数
四元数是一种既比较节省空间又不带奇异性的表达旋转的方法。

在2D情况下，可用 单位复数表达旋转。复数是二维的，在复平面上，实数可用一条从左到右的直线表示，而虚数可以由一条从小至上的直线表示。