1. 流形概念的引入

先来引入流形的概念。

极为一般地，流形具有如下方程形式：

而本文动端点问题研究的即为从s 0 面上一个点转移到s 1面上一个点的问题。在此问题中，s 0 称为左端点，s 1 称为右端点。

上图是n = 3 , p = k = 1 时的情况。若取n = 3 , p = 2 , k = 1 时，s 0 不再是平面，而是2个平面的交线，s 1 为平面：

而若取n = 3 , p = 3 , k = 1时，s 0不再是平面，而是3个平面的交点，s 1 为平面：

2. 流形的基本性质

可见，在流形的概念式(1)(2)中，下标l , ν 指的是该流形中方程的个数：

3. 动端点问题描述

这里给出性能指标：

参考庞特里亚金最大值原理（详见笔记优化方法理论合集（8）——庞特里亚金最大值原理）可以知道，庞特里亚金最大值原理用于解决2个点之间的问题，因此不难想到，对于本博客中的2个面之间的问题，也应该同样适用。因此，u ⃗ , x ⃗ 必须满足庞特里亚金最大值原理。

4. 解题

除了需要满足庞特里亚金最大值原理，还需要附加一些必要条件：

式(5)(6)统称为截止条件，ρ l − , ρ ν + 均为常数。

5. 必要条件表述

6. 对截止条件的解释

这一部分研究几何意义。把(5)(6)写成向量形式：

7. 例题

给出如下例题：