一个点可以用坐标向量来表示，它代表该点在参考坐标系中的位移，一个刚体可以由其上的点来表示，代表该刚体可以用单独一个坐标系描述，并且组成它的点，可以用它们在该坐标系中的位移来表示，一个物体在坐标系中的位置和方向称为它的位姿，一个相对位姿表示一个坐标系相对于另一个坐标系的位姿，记住代数变量一个点可以用不同坐标系中的不同坐标向量来描述，向量之间通过坐标系相对位置来转换，用相对位置写成的代数表达式是可以进行代数运算的。

在第二章学会了如何在二维和三维世界中表述表示，坐标系中坐标向量来表示，一个刚体上的一组点，可以用一个坐标系描述，而且其组成点可由相对于刚体坐标系的位移表示，任何坐标系相对于另一个坐标系的位置和方向可用相对位置，表示相对位置可以按顺序组合，也演示了相对位置。如何进行代数运算的方法一个重要的代数运算法则是运算变量不可交换，相对位置组合的顺序不可交换。有许多数学对象都可以用来描述位姿，每种方法都有他的长处和短处，有时我们只需要描述三维旋转。在许多视觉和机器人问题中必不可少的第一步是给所有的对象分配坐标系，然后以有相图的形式标明相对位置，并写出位置的环路方程。

机器人和计算机视觉中的一个基本要求是能够表示物体在环境中的位置和方向。这些物体包括机器人、摄像机、工件、障碍物和路径。

空间中的点是数学中一个熟悉的概念，它可以被描述为一个坐标向量，也被称为一个约束向量，向量表示点相对于某个参考坐标系的位移。坐标系统，是由一组正交轴构成的，这些轴相交于一个被称为原点的点。更多时候我们需要考虑组成物体的一组点。我们认为物体是刚性的，构成它的点相对于物体坐标系保持固定的相对位置，然而我们表示物体位置和方向时并不是描述其上单独的点，而是用该物体坐标系的位置和方向来描述。

坐标系有自己的标记，比如B，其坐标轴x目和yn采用坐标系的标记作为其下标。坐标系的位置和方向总称为位姿，图形上表示为一组坐标轴。相对于一个参考坐标系的某个坐标系的相对位姿用符号ξ表示。两个坐标系|A1、1B|，以及{B|相对于1A}的相对位姿，前面的上标表示参考坐标系，下标表示被描述的坐标系。我们也可以认为描述了一组动作——对 1A|施加平移和旋转使它转化为(B|。如果没有初始上标，我们默认位姿的变化是相对于用0表示的世界坐标系的。

相对位姿一个重要的特点是它们可以被合成或组合，如果一个坐标系可以被其他坐标系用相对位姿描述，那么它们的关系用语言可以表述为，|C|相对于|A|的位姿可由|B|相对于|A|的位要和|C|相对于|B|的位姿合成得到。我们利用运算符表示相对位姿的合成。在前面的例子中主要讨论了二维坐标系的情况，能适用于一大类机器人的问题，特别是在平面世界里作业的移动机器人。对于其他问题，我们需要用三维坐标系来表示三维世界中的物体，如飞行机器人、水下机器人的位姿或者机器人手臂夹持的工具末端。

位姿表示的一个非常有用的属性是其代数运算能力。以上面第二个闭环方程为例，它表示机器人的位姿等同于两个相对位姿的合成:从世界坐标系到固定摄像机的相对位姿，以及从固定摄像机到机器人的相对位姿。

二维世界或平面，是我们在高中学习欧几里得几何时就熟悉的。笛卡儿坐标系，或以x轴和y轴为正交轴的坐标系，通常绘制成x轴水平、y轴竖直，两轴的交点称为原点。平行于坐标轴的单位向量用i和j表示。一个点用其在x轴和y轴上的坐标(x，y)表示，或者写为有界向量:一个坐标系|B|,我们希望用参照系|A]来描述它。可以清楚地看到，I BI的原点已被向量t=(x，y)所取代，然后逆时针旋转一个角度θ。因此，位姿的一个具体表示就是三维向

量^ξx~(x,y, 0),我们使用符号~表示这两种表示是等价的。遗憾的是，这种表示方法不方便复合，因为两边的位姿都是复杂的三角函数。所以，我们将使用一种不同的方法来表示旋转。该方法是考虑一个任意点P相对于每个坐标系的向量，并确定'p和"p之间的关系。再次回到图2.6,我们将问题分成两部分:旋转，然后平移。

旋转矩阵'R,具有一些特殊的属性。首先，它是正规化的(也称为标准正交)，因为它的每列都是单位向量且相互正交的D。实际上矩阵的每列都是简单地将B}定义在|V|中的单位向量，因此根据定义它们都是单位长度且正交的。其次，它的行列式是+1，这意味着R属于特殊的二维正交群。而且单位行列式还意味着一 个向量在变换后的长度是不变的，即I"p|=I'pI，V0。正交矩阵有种非常 方便的属性: R'=R',即它的逆矩阵和转置矩阵相同。因此，我们可以重新将方程(2.6)整理为这里我们观察到一个有趣的事实:我们描述一个旋转的时候，不是用代表旋转角度的个标量，而是用了一个有4个元素的2x2矩阵。但这4个元素并不是独立的，矩阵的每一列都是一个单位的大小，这提供了两个约束，列与列之间还都是正交的，这提供了另一种约束。4个元素加上3个约束，这样还是只剩下1个真正独立的值。旋转矩阵是一个非最小化表示的典型例子，虽然这种表示有一些缺点， 诸如需要增加内存等，但它具备的优势更加突出，如可复合性。描述位姿的第二部分就涉及各坐标系原点的平移。由于坐标系|VI和|A|的轴是平行的，所以可以简单地进行向量相加。