1、离散系统基本概念

1.1 离散系统

  离散系统： 是指系统的输入和输出仅在离散的时间上取值，而且离散的时间具有相同的时间间隔，与连续的概念相反。
  设系统输入变量为$u(n{T}_s),n=0,1,2...$，其中$T_s$为系统的采样时间，$n$为采样时刻。由于$T_s$为一固定值，因此系统输入$u(n{T}_s)$，常简记为$u(n)$。设输出系统为$y(n{T}_s)$，简记为$y(n)$。于是，离散系统的数学表达为：
$$y(n)=f(u(n),u(n-1),...;y(n-1),y(n-2))$$

1.2线性离散系统

  线性离散系统： 是离散系统的一种特殊形式，需要同时满足(1)、(2)两个条件，即
T { α u 1 ( n ) + β u 2 ( n ) } = α T { u 1 ( n ) } + β T { u 2 ( n ) } T\lbrace \alpha u_1(n)+\beta u_2(n) \rbrace = \alpha T\lbrace u_1(n) \rbrace + \beta T\lbrace u_2(n) \rbrace T{αu1​(n)+βu2​(n)}=αT{u1​(n)}+βT{u2​(n)}
  (1)、齐次性： 对于离散系统 y ( n ) = T { u ( n ) } , n = 0 , 1 , 2... y(n)=T\lbrace u(n) \rbrace, n=0,1,2... y(n)=T{u(n)},n=0,1,2...，如果对任意的输入$u(n)$与给定的常数$\alpha$，下面的式子总成立：
T { α u ( n ) } = α T { u ( n ) } T\lbrace \alpha u(n) \rbrace = \alpha T\lbrace u(n) \rbrace T{αu(n)}=αT{u(n)}
则称系统满足齐次性。
  (2)、叠加性： 对于系统对于输出$u_1(n)$和$u_2(n)$，输出分别为$y_1(n)$ 和$y_2(n)$，总有下面的式子成立：
T { u 1 ( n ) + u 2 ( n ) } = T { u 1 ( n ) } + T { u 2 ( n ) } T\lbrace u_1(n)+u_2(n) \rbrace = T\lbrace u_1(n) \rbrace + T\lbrace u_2(n) \rbrace T{u1​(n)+u2​(n)}=T{u1​(n)}+T{u2​(n)}
则称系统满足叠加性。
  对于线性离散系统，其一般数学描述为：
$$y(n)=f(u(n),u(n-1),...;y(n-1),y(n-2))$$
用差分方程描述为：
状态方程：$x(n+1)=f(x(n),u(n),n)$
输出方程：$y(n)=g(x(n),u(n),n)$

1.3 Z变换

  $Z$变换： 对于一个离散信号$u(n)$，其$Z$变换为$U(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }u(k)z^{-k}$。一般来说离散信号$u(n)$的起始时间往往大于零，这时它的$Z$变换为$U(z)=\sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}$，可简记为 U ( z ) = Z { u ( n ) } U(z)=Z \lbrace u(n) \rbrace U(z)=Z{u(n)}。由离散信号的$Z$变换确定离散信号的过程为$Z$变换的你变换，一般简记为 U ( z ) = Z − 1 { u ( n ) } U(z)=Z^{-1} \lbrace u(n) \rbrace U(z)=Z−1{u(n)}。
  $Z$变换有以下两个重要性质：
  (1)、线性关系： $Z$变换同时满足齐次性和叠加性，即：
Z { α u 1 ( n ) + β u 2 ( n ) } = α Z { u 1 ( n ) } + β Z { u 2 ( n ) } Z\lbrace \alpha u_1(n)+\beta u_2(n) \rbrace = \alpha Z\lbrace u_1(n) \rbrace + \beta Z\lbrace u_2(n) \rbrace Z{αu1​(n)+βu2​(n)}=αZ{u1​(n)}+βZ{u2​(n)}
  (2)、设离散信号$u(n)$的$Z$变换为$U(z)$，则$u(n-1)$的$Z$变换为$z^{-1}U(z)$。

2、人口变化（例1）仿真

2.1 人口变化模型

【例1】设某一年的人口总数为$p(n)$，其中$n$表示年份，它与上一年的人口数目$p(n-1)$、人口自然增长率$r$、以及新增资源所能满足的个体数目$K$之间的关系方程如下差分方程，即：
$$p(n)=rp(n-1)[1-\frac{p(n-1)}{K}]$$
  现设人口初值$p(0)$=500000，人口自然增长率$r$=1.07, $K$=2000000，建立人口动态变化的数学模型，分析人口数目的变化趋势。

2.2 建模

图1-1 人口变化系统模型

 
 Gain模块：参数设置为1/2000000，即$\frac{1}{K}$。
 Gain1模块：增益设为1.07，即人口自然增长率。
 Unit Delay模块：参数设置如图所示。

 Constant模块：常数1。
 Sum模块：list of signs设置为| + -。

2.3 系统仿真

  仿真时间设置为50s，步长默认（auto）也可以设置为其他。点击运行run，然后双击Scope模块，即可显示仿真结果。从仿真结果可以看出，人口数目会逐年减少，并趋于一个稳定值。

3、低通滤波器（例2）仿真

3.1 低通滤波器模型

【例2】低通滤波器可以过滤掉信号中的高频部分，以获取信号中有价值的低频信号。下面是一个低通数字滤波器的差分方程描述：
$$y(n)-1.6y(n-1)+0.7y(n-2)=0.04u(n)+0.08u(n-1)+0.04u(n-2)$$
其中，$u(n)$为滤波器输入，y(n)为滤波器输出。
  对滤波器系统的差分方程进行$Z$变换，即：
$$\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{0.04+0.08z^{-1}+0.04z^{-2}}{1-1.6z^{-1}+0.7z^{-2}}$$
根据系统的数学描述进行建模。

3.2 建模

 Sine Wave模块：Frequency频率设为1000rad/sec，其余为默认值。
 Sine Wave1模块：Frequency频率设为1000rad/sec，Sample time采样时间设置为
  0.005s，其余为默认值。
 Signal Generator模块：Wave form 设置为sawtooth，其余为默认值。
 Discrete Filter模块：设置如图所示。

 Product模块：默认值。
 Product1模块：默认值。
  系统仿真时间设置为50s，求解器设为ode45，最大步长设置为0.005。

3.3 系统仿真

从仿真结果可以看出，滤波器的输出信号和原始锯齿波信号并不完全一致，而是存在一定的失真。这种失真不可避免，因为在实际工作中并不存在理想滤波器。在使用高频载波对低频信号进行调制时，信号间不可避免地会出现干扰。
PS：碰到里面参数设置或者模块的问题可以给我留言，我看到会及时回复的，大家互相交流学习。