Legendre伪谱法/勒让德伪谱法

本文主要介绍Legendre伪谱法的实现原理，介绍方式会尽可能采用数值演示，以便让读者能有一个更直观的感受。

第一部分 最优控制问题

本文继续来介绍Legendre伪谱法，给定如下最优控制问题

状态方程如下

约束条件如下

其中，  和  分别为初始和终端约束条件。

路径约束

时间变换

在伪谱法中状态量是由其在LGL点处的值来近似的，而上面的原始定义中时间区间位于  不符合后续伪谱法的使用，因此首先采用时间变换

逆变换为

因此我们将时间由  ，尽管如此，为了方便起见，我们仍然采用上述记号来描述最优控制问题，得到如下

第二部分 Legendre伪谱法

我们首先选择LGL离散点  ，其中  ，  选择为  阶Legendre多项式导数的根，  。

则状态量可以近似如下

在离散点处的导数计算如下

则式(8)变为配点方程（约束）如下

则式(7)变为

式(9)变为

式(10)在LGL点满足如下

综上，我们通过伪谱法将最优控制问题转换为了代数约束问题

其中，待优化变量包括

第三部分 问题求解

下面例子实现的代码以及第一篇文章的代码可以在下面的地址找到

例子1

例子来源于

最优控制问题：

系统动力学为：

初始终端条件：

采用Legendre伪谱法来进行求解，由于我们已经知道该最优控制问题存在解析解

由于状态量仅为3阶多项式，因此采用伪谱法求解时选择  即可，因此得到优化变量的个数为

计算结果如下

由上述计算结果可以看出，相比于之前实现过的直接打靶法来说，优化速度很快，且收敛精度很高。

除此以外，在文献[2]中给出了NLP问题拉格朗日乘子与最优控制问题中协态的映射关系，称为协态映射定理，具体的公式如下

因此，在采用伪谱法求解得到结果以后，还可以通过上述关系得到相应的协态值。实际上，伪谱法得到广泛应用的重要原因就是存在协态映射定理，这使得我们可以对必要条件进行验证，同时也可以给间接法提供初值。

协态计算的结果如下

与我们采用变分法必要条件求解得到的协态值是一致的。

例子2

例子来源于

最优控制问题：

边界条件满足：

采用Legendre伪谱法来进行求解，这次我们选择  来进行求解，结果如下

得到的状态量曲线如下

参考文献

[1] Elnagar G, Kazemi M A . The pseudospectral Legendre method for discretizing optimal control problems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1995, 40(10):P.1793-1796.

[2] Fahrooa F , Ross I . Costate Estimation by a Legendre Pseudospectral Method[C]// Guidance, Navigation, & Control Conference & Exhibit. 2001.

[3] Benson D . A Gauss pseudospectral transcription for optimal control[J]. massachusetts institute of technology, 2005.

[4] Huntington G T . Advancement and Analysis of a Gauss Pseudospectral Transcription for Optimal Control. 2008.

[5] Garg D . Advances in global pseudospectral methods for optimal control. 2011.

[6] Hall A O . A MATLAB GUI for a Legendre Pseudospectral Algorithm for Optimal Control Problems[J]. Thesis Collection, 1999.

[7] Daniel R. Herber (2021). Basic Implementation of Multiple-Interval Pseudospectral Methods to Solve Optimal Control Problems (https://github.com/danielrherber/basic-multiple-interval-pseudospectral), GitHub. Retrieved September 25, 2021.

[8] Rao A V , Benson D A , Darby C L , et al. Algorithm 902: GPOPS, A MATLAB software for solving multiple-phase optimal control problems using the gauss pseudospectral method[J]. Acm Transactions on Mathematical Software, 2010, 37(2):22.