位置描述：一旦建立了坐标系，就可以用一个3×1的位置矢量对世界坐标系中的任何点进行定位。因为在世界坐标系中还有其他坐标系，因此必须在位置矢量上附加信息，表明是在哪个坐标被定义的。位置矢量用一个前置的上标来表明其参考坐标系。例如：AP。表明AP的数值是在坐标系｛A｝中的表示。矢量中的各个元素用下标x，y，z来表明：

姿态描述：点的位置描述可用矢量描述，姿态可用固定在物体上的坐标系来描述。描述连体坐标系｛B｝的一种方法是利用坐标系｛A｝的三个主轴单位矢量来表示。我们用来表示坐标系｛B｝主轴方向的单位矢量，当用坐标系｛A｝的坐标表达式时，它们被写成，将这三个单位矢量按照顺序排成一个3×3的矩阵，称该矩阵为旋转矩阵，记作：（矩阵｛B｝相对于矩阵｛A｝的表达）

于是，点的位置可用一个矢量来表示，物体的姿态可用一个矩阵来表示，上式中rij可用每个矢量在其参考坐标系中的单位方向上投影的分量来表示。于是的各个分量可用一对单位矢量的点积来表示：

为简单起见，上式最右边矩阵内的前置上标被省略了。由于两个单位矢量的点积可得到二者之间夹角的余弦，因此旋转矩阵的各分量常被称作方向余弦。


观察式（2）第一行可知：矩阵的第一行就是在上的投影的模，也就是，则，

坐标系｛A｝对坐标系｛B｝的描述可由式（3）转置得到；即，，又因为旋转矩阵是正交矩阵，一个正交矩阵的逆等于它的转置，因此，现在以三个欧拉角中的RotX为例（其余两个欧拉角以此类推），验证一下以上说的结论。


（1）由于X轴是垂直于YoZ平面的，所以和的点乘结果为0，同时​和的点乘结果也为0。

（2）由于都是单位向量，所以和的点乘结果为1。

（3）由于绕x轴旋转，所以我们观察和分别在和​上的投影情况，如下图所示。

坐标系描述：位置和姿态的组合称作坐标系，四个矢量为一组，表示了位置和姿态信息。例如，用，和来描述坐标系｛B｝，其中 是确定坐标系｛B｝原点位置矢量：｛B｝=

映射：坐标系到坐标系的变换：已知矢量对某坐标系｛B｝的描述，求出它相对另一坐标系｛A｝的描述。，其中为4×4齐次变换矩阵。