！为了看懂本篇文章，需要阅读线性时不变系统，并理解响应的卷积形式。
Part 1 : 复指数信号
在线性时不变系统中，我们将信号分解成一系列的冲激信号，从而得到了响应的卷积形式，那么不禁引起人们的思考，难道只有这一种分解方式吗？
当然，还可以分解成阶跃信号，除了这个呢？人们观察到信号有些是有周期的，有些是没有周期的。那么能不能将所有的信号分解成比较特殊的周期信号，比如三角函数呢？
傅里叶指出任何一个周期函数都可以用三角级数表示，然而太过宽泛，狄里 赫利进一步给出了精确的条件。只有满足狄里赫利条件时，一个周期函数才可以展开为傅里叶级数。
这样我们就从研究信号的时域，变成了研究信号的周期域（可能不太恰当），而周期和频率又是互为倒数的关系，因此问题转变为了研究信号的频域。
再根据伟大的欧拉公式： ，三角函数和复指数信号存在一一对应的关系，为此，我们可以研究信号分解为复指数信号后的数学推导。
Part 2 : 傅里叶级数
那么为什么选取复指数信号作为特征信号呢？
维纳在《控制论》中曾推导了函数族 在平移下是不变式，并且我们还可以推导出复指数信号是线性时不变系统的特征函数。
我们在之前的线性时不变系统中推导了离散信号的卷积形式：
那么类似的，我们可以将信号利用冲激函数的采样性质写成：
然后借助于线性时不变的性质推导出连续信号的卷积响应形式:
我们为了研究分解为复指数信号的响应表现，令 可以推得：
从中可以看出复指数函数是LTI系统的特征函数，那么输入信号转换为一系列基本复指数信号的组合，然后根据组合的加权系数的输出即为响应。
由上述推导可知问题的关键在于将 x(t)分解成基本信号的加权组合形式。
我们首先考虑周期信号，比如基波和各次谐波组成的复指数信号组合：
只需求解出加权系数ak，即可以得到响应表达式。我们利用复指数信号的正交性（三角函数的正交性），将x(t)乘以 ，再从0到T积分，可得：
积分可以理解为无穷微量和之极限，级数可以理解为和，那么两者运算顺序相交换并不影响最后结果，于是交换积分与级数次序可得：
由复指数信号正交性，仅k=n时， ，因此有：
可解得加权系数an：视频中这块的n和k有一些错误，以文字内容为主。
再代入x(t)表达式，可以得到一个周期内连续时间信号的傅里叶级数：
Part 3 : 相关应用
一个正弦波，在时域中是一个周期信号，而在频域中，只有一条线段，这就给我们研究信号提供了另一个特征切入。
我们可以利用频域变换，将信号及其运算变换到频域，这样时域的积分微分运算，在频域就是乘除一个频域算子（拉普拉斯为s，傅里叶为jw），时域的卷积就是频域的相乘，大大简化了运算形式。
在数字中，利用FFT算法将时域信号采样然后转换到频域，可以提取正弦信号的幅值、相位、频率。
现实生活中很多噪声都是周期性的，我们可以在频域进行分析，然后通过设计合适的滤波器，滤除噪声频率段的信号，从而保证信号的质量。
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