本节介绍广义动量，这也是哈密顿力学的基础，也是分析力学基础介绍的最后一部分。

分析力学中也有类似于动量的物理量，我们在2.质点动力学(5)：“拉格朗日方程的首次积分”中已经提到过，广义动量定义为：

其中  为拉格朗日函数，  为广义坐标。

有了广义动量的定义，我们定义哈密顿函数（哈密顿量）：

有没有觉得这个函数很眼熟？我们回顾一下保守场、完整系统、定常约束下的拉格朗日方程的首次积分-能量积分：

可以发现长得一样，实际上这就是哈密顿函数的物理意义。

例4-1. 质量为  的小球被约束在无质量杆上运动，如图4-1所示，杆相对惯性系的加速度恒为  ，与重力方向相反，设初始条件皆为0，求系统的哈密顿函数，判断其与总能量的关系。

解：

我们首  先写出拉格朗日函数：

其中：

则：

哈密顿函数：

系统总能量：

可以看出两者不相等，这是因为：

受到的约束都为定常约束时才有  ，  ，即在理想、定常约束下哈密顿函数才等于机械能，而此例中  。

为什么要定义哈密顿函数？

因为拉格朗日方程是一个二阶微分方程，若能给它降阶，则可有效降低求解难度。

如何降阶？

1834-1835年，哈密顿发表论文《论动力学中的一个普遍方法》《再论动力学中的普遍方法》，提出哈密顿原理与正则方程，将拉格朗日方程化为更对称的一阶方程组，创立了哈密顿动力学，为量子力学、统计物理、量子场论奠定了理论基础。

已知拉格朗日函数的全微分：

已知广义动量与拉格朗日方程：

代入全微分式，得：

因此

 是系统的广义能量，也就是我们定义的哈密顿函数

哈密顿函数的全微分：

比较两式，我们可以得到

上式称为保守系统哈密顿正则方程。

对于非保守系统，有：

即

故

可得

上式称为非保守系统哈密顿正则方程。

例4-2. 单摆系统如图4-2所示，写出单摆运动的拉格朗日函数与哈密顿函数，证明哈密顿函数的物理意义为系统的总能量，利用哈密顿正则方程写出运动方程。

解：

系统的动能为：

系统的势能可以写为：

拉格朗日函数：

哈密顿函数：

由于广义动量  ，上式变为：

上式就是系统的总能量。

哈密顿函数变形为（函数中只保留广义坐标与广义动量项）：

列写正则方程：

若哈密顿函数不显含某个  或某个  ，则将该广义坐标或广义动量称为循环坐标。此时，对于保守系统的哈密顿正则方程，有：

实际上，拉格朗日函数的守恒量和哈密顿函数的守恒量具有密切关系

若拉格朗日函数不显含  或某广义坐标，则哈密顿函数也不显含它。

但二者也有区别，拉格朗日函数的循环坐标对应一个循环积分，即广义动量守恒，系统的自由度不变，也就是拉格朗日方程的个数  不变，而哈密顿函数的循环坐标会使得系统自由度下降1，即正则方程的个数由  个降为  个。

例4-3. 如图4-3所示，一个质量为  的小球受到来自点  的引力，其势能为  ，系统的运动用极坐标  描述，利用哈密顿正则方程写出运动方程，并判断是否存在循环坐标。

解：

小球的速度为：

拉格朗日函数：

哈密顿函数：

将哈密顿函数写成  的形式：

列写正则方程：

显然  是循环坐标，它对应的广义动量（对应小球的角动量）守恒，  。

有几点需要说明：

• 拉格朗日函数及方程可以直接得到，而哈密顿函数需要通过广义动量代替广义速度后，从拉格朗日函数经过变换得到；
• 拉格朗日方程是二阶微分方程，而正则是一阶的，但正则方程的变量个数增大了一倍；
• 对于循环坐标，正则方程处理起来方便很多，无论哈密顿函数缺少任意一个  、  、  ，都可以找到它对应的守恒量；
• 拉格朗日方程和哈密顿正则方程本质上是等价的。

之前内容：

参考文献：F. Daqaq. Dynamics of particles and rigid bodies: a self-learning approach[M]. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2018.