德国人怎么学电机——浅谈电机模型(十二)：异步电机：绕线转子电机(二)

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4.绕线转子电机的功率和转矩

接上文，接下来将讨论异步电机作为电动机工作的特性。所以这时定子就会使用消耗型箭头系统(Verbraucherzählpfeilsystem, VZS)，而转子就会使用生产型箭头系统(Erzeugerzählpfeilsystem, EZS)。这样互感耦合部分在定子端作为用电器负载，取负号；互感耦合部分在转子端作为电源，取正号。在T-等效电路替代图中有

(12.1) $\underline U_S=(R_S+jX_S)\cdot \underline I_S-jX_{SR}\cdot \underline I_R$

(12.2) $\underline U_R=js\cdot X_{RS}\cdot \underline I_S-(R_S+js\cdot X_R)\cdot \underline I_R$

异步电机的转矩可以通过一个功率平衡的关系来确定。在定子线圈绕组终端，异步电机从电网中吸收电功率 $P_S$ ，如果我们继续用复数来表示相量，那么功率应该是一个标量，一个模长。复数的模长可以通过共轭复数相乘获得，对定子电压和共轭电流的乘积取实部有

(12.3) $P_S=3\cdot Re\left\{ \text{ } \underline U_S\cdot \underline I_S^{*}\right\}=3\cdot U_S\cdot I_S\cdot cos\left( \varphi_S \right)$

其中， $\varphi_S$ 为定子电流相对于定子电压的滞后相位(Phasennacheilung)， $cos\left( \varphi_S \right)$ 则为吸收功率中实际有效的功率与总功率的比值，称为功率因数(Leistungsfaktor)， $P_S$ 又被称为有功功率(Wirkleistung)，它指的是从电网中净流出的功率。与之相对应的还有另一个功率，即无功功率(Blindleistung)，它对应了定子电压和共轭电流乘积的虚部，即

(12.4) $Q_S=3\cdot Im\left\{ \text{ } \underline U_S\cdot \underline I_S^{*}\right\}=-3\cdot U_S\cdot I_S\cdot sin\left( \varphi_S \right)$

无功功率的单位是“乏”[Var]。它的物理意义，就是一种往返于储能装置与电源间的功率，类似于不断充放电的过程。在电机里面，无功功率主要是用来构建磁场，储存磁场能量。对于电网来说，无功功率不能太大，否则会降低用电品质。无功功率和有功功率的几何和就是视在功率(Scheinleistung)，即直接电压和电流的乘积

(12.5) $S_S=\sqrt{P_S^2+Q_S^2}=\left|| \underline U_S\cdot \underline I_S^{*}|\right|$

有功功率中在电阻上损耗的功率，即在铜导线上的损耗(简称“铜损”)，实际上全部转化为热能，即焦耳热。

(12.6) $P_{Cu,S}=3\cdot R_S\cdot I_S^{2}$

总共的定子损耗 $P_{V,S}$ 还包括铁损 $P_{Fe,S}$ 和额外损耗 $P_{Zus,S}$

(12.7) $P_{V,S}=P_{Cu,S}+P_{Fe,S}+P_{Zus,S}$

有功功率减去定子损耗功率，剩下的就是传导到转子上的功率了，当然，要从定子到达转子，必须先经过气隙，所以剩下的功率统称为通过气隙的功率，即气隙功率 $P_{\delta,S}$ (Luftspaltleistung)。

(12.8) $P_{\delta,S}=P_{S}-P_{V,S}$

气隙功率的一部分用来产生机械功 $P_{m}$ ，另一部分 $P_{\delta,R}$ 则传递到转子上。

(12.9) $P_{\delta,S}=P_{m}+P_{\delta,R}$

从绕线转子侧来看，这转子气隙功率会部分作用在外加电阻上或者一个二级网络上。

(12.10) $P_{\delta,R}=P_{R}+P_{V,R}$

(12.11) $P_{R}=3\cdot Re\left\{ \text{ } \underline U_R\cdot \underline I_R^{*}\right\}$

(12.12) $P_{Cu,R}=3\cdot R_R\cdot I_R^{2}$

(12.13) $P_{V,R}=P_{Cu,R}+P_{Fe,R}$

由于在额定功率时，异步电机转子上只有很低的转差率，所产生的转子铁损 $P_{Fe,R}$ 可以忽略不计。于是，机械功率就是定子气隙功率和转子气隙功率之差。实际上这个机械功率还需要减去零件摩擦和风阻的损耗功率 $P_{\mu}$ 才是最后输出到电机轴上的机械输出功率 $P_{m}^{'}$

(12.14) $P_{m}^{'}=P_{m}-P_{\mu}=2\pi\cdot n\cdot (M_i-M_\mu)=2\pi\cdot n\cdot M$

考察转数和转矩的关系可得以下旋转磁场和机械功率关系

(12.15) $P_{\delta,S}=\frac{\omega_S}{p}\cdot M_i=2\pi\cdot n_0\cdot M_i$

(12.16) $P_{\delta,R}=\frac{\omega_R}{p}\cdot M_i=s\cdot P_{\delta,S}$

(12.17) $P_{m}=2\pi\cdot n\cdot M_i=(1-s)\cdot P_{\delta,S}$

功率平衡也可以直接从公式中导出。这需要把定子电压方程代入

(12.18) $\begin{aligned} P_S&=3\cdot Re\left\{ \text{ } \underline U_S\cdot \underline I_S^{*}\right\}=3\cdot Re\left\{ (R_S+jX_S)\cdot \underline I_S\cdot \underline I_S^{*}-jX_{SR}\cdot \underline I_R\cdot \underline I_S^{*}\right\}\\ &=\underbrace{3\cdot R_S\cdot I_S^{2}}_{P_{Cu,S}} +\underbrace{3\cdot Re\left\{ jX_S\cdot I_S^{2}\right\}}_{=0} +\underbrace{3\cdot Re \left\{- jX_{SR}\cdot \underline I_R\cdot \underline I_S^{*}\right\}}_{P_{\delta,S}} \end{aligned}$

可以得到三个部分，第一部分显然为铜损功率，第二部分对纯虚数求实部为0，第三部分即定子气隙功率。(这样的考察完全忽略了铁损和额外损耗)。所以我们也可以这样改写气隙功率

(12.19) $\begin{align*} P_{\delta,S}&=3\cdot Re \left\{- jX_{SR}\cdot \underline I_R\cdot \underline I_S^{*}\right\}=3\cdot \omega_S \cdot L_{RS}\cdot Im\left\{ ~\underline I_R\cdot \underline I_S^{*} \right\}\\ &=3\cdot \omega_S \cdot L_{RS}\cdot I_R\cdot I_S\cdot sin(\varphi) \end{align*}$

我们同样可以地获得转子上的功率

(12.20) $\begin{aligned} P_S&=3\cdot Re\left\{ \text{ } \underline U_R\cdot \underline I_R^{*}\right\}=3\cdot Re\left\{ js\cdot X_{RS}\cdot \underline I_S\cdot\underline I_R^{*}-(R_S+js\cdot X_R)\cdot \underline I_R\cdot \underline I_R^{*}\right\}\\ &=-\underbrace{3\cdot R_R\cdot I_R^{2}}_{P_{Cu,R}} -\underbrace{3\cdot Re\left\{ js\cdot X_R\cdot I_R^{2}\right\}}_{=0} +\underbrace{3\cdot s\cdot Re \left\{ jX_{RS}\cdot \underline I_S\cdot \underline I_R^{*}\right\}}_{P_{\delta,R}} \end{aligned}$

(12.21) $P_{\delta,R}=3\cdot s\cdot Re \left\{ jX_{RS}\cdot \underline I_S\cdot \underline I_R^{*}\right\}=3\cdot s\cdot\omega_S \cdot L_{RS}\cdot Im\left\{ ~\underline I_R\cdot \underline I_S^{*} \right\}=s\cdot P_{\delta,S}$

在电机转数为 $n=(1-s)\cdot n_0$ ，源于转速差得到的旋转磁场功率，产生的电磁转矩或称为内生转矩 $M_i$ (innere Drehmoment)

(12.22) $M_i=\frac{P_m}{2\pi\cdot n}=\frac{(1-s)\cdot P_{\delta,S}}{2\pi\cdot (1-s)\cdot n_0}=\frac{ P_{\delta,S}}{2\pi\cdot n_0}=p\cdot\frac{ P_{\delta,S}}{\omega_S}$

5.绕线转子电机在电网中的稳态工作

5.1转差率相关的电阻和电机工作状态

异步电机往往直接接在一个电网里，并通入恒定大小的电压和频率。因此，我们对不同工作条件下电流和功率吸收、产生的转矩很感兴趣。

现在我们只考察最简单的情况：转子线路不供电的绕线转子电机，在转子上的可能的额外电阻都作为 $R_R$ 计算。定子侧通入一个静态电网的电压，在稳态下运行，保持自感和电阻的恒定，所有的铁损都可以忽略不计。虽然是很多限制条件，但是这样的考察结果也能作为重要经验知识使用到变频供电和鼠笼式电机上去。

我们首先忽略定子电阻 $R_S$ ，这个假设在供电频率不低的更大型的电动机上是允许的。为了计算方便，我们使用 $\Gamma$ -等效替代电路图。在定子电阻为0的情况下，定子的磁链幅值大小就近似于恒定值。转数只会影响转子上受转差率影响的电阻 $\frac{R_{R}^{\Gamma}}{s}$ 。

(12.23) $X_{\sigma}^{\Gamma}=\frac{\sigma}{1-\sigma}\cdot X_{S}$

(12.24) $R_{R}^{\Gamma}=R_{R}^{'}\cdot(1+\sigma_S)^2$

(12.25) $\underline I_{R}^{\Gamma}=\frac{1}{1+\sigma_S}\cdot\underline I_{R}^{'}$

$\Gamma$ -等效替代电路图代表了以下电压方程

(12.26) $\underline U_S=jX_S\cdot \underline I_m^{\Gamma}$

(12.27) $0=\frac{R_{R}^{\Gamma}}{s}\cdot\underline I_{R}^{\Gamma}+jX_{\sigma}^{\Gamma}\cdot \underline I_{R}^{\Gamma}+jX_S\cdot \underline I_m^{\Gamma}$

还有磁化电流和定子电流和转子电流的叠加关系

(12.28) $\underline I_m^{\Gamma}=\underline I_S+ \underline I_R^{\Gamma}$

(12.29) $\underline I_m^{\Gamma}=\frac{\underline U_S}{jX_S}$

(12.30) $\underline I_{R}^{\Gamma}=-\frac{\underline U_S}{\frac{R_{R}^{\Gamma}}{s}+jX_{\sigma}^{\Gamma}}$

(12.31) $\underline I_S= \underline I_m^{\Gamma}-\underline I_{R}^{\Gamma}=\frac{\underline U_S}{jX_S}+\frac{\underline U_S}{\frac{R_{R}^{\Gamma}}{s}+jX_{\sigma}^{\Gamma}}$

受转差率影响的电阻 $\frac{R_{R}^{\Gamma}}{s}$ 可以分解为不受转差率影响和受转差率影响的两部分

(12.32) $\frac{R_{R}^{\Gamma}}{s}=R_{R}^{\Gamma}+\frac{1-s}{s}\cdot R_{R}^{\Gamma}$

因为在推导等效替代电路图时，只使用了功率不变条件，所以第四章节里面的功率平衡公式都是可以使用的。对于 $R_S=0$

(12.33) $P_{V,R}=P_{Cu,R}=P_{\delta,R}=3\cdot R_R^{\Gamma}\cdot (I_R^{\Gamma})^{2}=s\cdot P_{\delta,S}$

(12.34) $P_{m}=\frac{1-s}{s}\cdot P_{V,R}=3\cdot\left( \frac{1-s}{s}\cdot R_{R}^{\Gamma} \right)\cdot(I_R^{\Gamma})^{2}$

可见每相线圈束上的与转差率无关的电阻 $R_R^{\Gamma}$ 产生了转子的纯热功损耗，而与转差率相关的电阻 $\frac{1-s}{s}\cdot R_{R}^{\Gamma}$ 对应了输出的机械功的电阻。

当这个虚拟的电阻变为负号时，只有两种情况：

①转差率 $s<0$ ，这意味着转子转数大于同步转数 $n>n_0$ ，异步电机处于发电机状态;

②转差率 $s>1$ ，这意味着转子正在反向旋转 $n<0$ ;

这两种情况下，机械功率都将变为负号，意味着在转子电机轴上有外来机械功率输入到电机里。

从而我们可以借助转差率把电机工作状态分为以下三种情况：

电动机驱动(Motorbetrieb)： $0<s<1,~0<n<n_0$

电网功率输入到定子上，电机轴输出机械功 $P_S>0,~P_m>0$ 。

发机驱动(Generatorbetrieb)： $s<0,~n>n_0$

定子输出功率到电网上，机械功输入电机轴 $P_S<0,~P_m<0$ 。

(反向电流Gegenstrom-)刹车驱动(Bremsbetrieb)： $s>1,~n<0$

电网功率输入到定子上，机械功输入电机轴 $P_S>0,~P_m<0$ 。

现在，我们回头研究转矩和机械功率的另一种表达方法。输出的功率和转矩的关系可以通过消去转子电流 $I_R^{\Gamma}$ 重新改写

(12.35) $P_{m}=3\cdot(1-s) \cdot \frac{\frac{R_{R}^{\Gamma}}{s}}{\left( \frac{R_{R}^{\Gamma}}{s} \right)^2+\left( X_{\sigma}^{\Gamma} \right)^2}\cdot U_S^2$

(12.36) $M_i=\frac{P_m}{2\pi\cdot n}=\frac{P_m}{(1-s)\cdot \frac{\omega_S}{p}}=3\cdot \frac{p}{\omega_S}\cdot \frac{\frac{R_{R}^{\Gamma}}{s}}{\left( \frac{R_{R}^{\Gamma}}{s} \right)^2+\left( X_{\sigma}^{\Gamma} \right)^2}\cdot U_S^2$

5.2电流极限圆

从等效替代电路图中可以读出很多信息，比如电流和某一转数下的电机吸收功率。以下介绍三种特殊转差率时的电流情况。

理想空转电流

异步电机的理想空转(ideeller Leerlauf)指的是异步电动机正好以同步转数转动，此时 $s=0,~n=n_0$ 。按照公式转子回路的电阻将趋向于无穷大，即断路。此时电机定子上通过的理想空转电流 $\underline I_0$ 正好等于磁化电流。

(12.37) $\underline I_0=\underline I_S|_{s=0}= \underline I_m^{\Gamma}=-j\cdot\frac{\underline U_S}{X_S}~~~~~~~I_0\approx 0.3\cdot I_N$

此时定子电流是纯虚数，表示的是感性的无功电流，参与产生了旋转磁场和漏磁磁场的建立。理想空转正好处在模长最小的定子电流的工作点。

理想短路电流

处于理想短路(ideeller Kurzschluss)的情况下， $s\rightarrow \pm\infty,~n\rightarrow \pm\infty$ ，此时的转子电路中的电阻忽略不计，转子电路的电流只能通过漏磁电抗 $X_{\sigma}^{\Gamma}$ 来确定。

(12.38) $\underline I_\infty=\underline I_S|_{s\rightarrow\pm\infty}=\frac{\underline U_S}{jX_S}+\frac{\underline U_S}{jX_{\sigma}^{\Gamma}}=-j\cdot\frac{\underline U_S}{X_S||X_{\sigma}^{\Gamma}}=\frac{1}{\sigma}\cdot\underline I_0~~~~~~~I_\infty\approx (4\text{~}10)\cdot I_N$

$X_S||X_{\sigma}^{\Gamma}$ 表示两个电抗并联后的值。可见电机上通过的理想短路电流 $I_\infty$ ，也是无功电流。

实际短路电流

当电机刚刚启动的时候， $s=1,~n=0$ ，对应的转差率相关电阻 $\frac{1-s}{s}\cdot R_{R}^{\Gamma}$ 也会消失。在转子电路中的只剩下转差率无关的电阻 $R_{R}^{\Gamma}$ ，于是电机定子上会通过短路电流/启动电流 $I_K$

(12.39) $\underline I_K=\underline I_S|_{s=1}=\frac{\underline U_S}{jX_S}+\frac{\underline U_S}{R_{R}^{\Gamma} +jX_{\sigma}^{\Gamma}}~~~~~~~I_K\approx I_\infty$

显然，此时的电流里面会包含有功电流，而这些有功电流会在转子电阻上全部转化为热量耗散掉。

以上都是一些极端情况，为了更加普遍地考察各种电流的有功无功随转差率的变化，我们把式(12.31)的从原点出发的相量 $\underline I_S$ 在复平面轨迹画出来，不难证明， $\underline I_S\left( s \right)$ 的关于参数 $s$ 的轨迹恰为一个圆，即所谓的电流极限圆(Stromortskurve)。把 $\underline U_S$ 放在实轴上作为基准，可以做图。

可见，电流极限圆是在复平面上一个依照转差率变化的轨迹圆，它的中心在虚轴负半轴。所以当转差率从0增大到正无穷时，从坐标系原点出发的相量 $\underline I_S$ 沿着电流极限圆上半弧向外移动，而当转差率从0减小到负无穷时， $\underline I_S$ 则沿着电流极限圆下半弧移动到极限圆另一端。

可以看到，刚刚提到的理想空转电流，理想短路电流以及实际短路电流都可以在电流极限圆中找到自己对应的位置。

我们来计算一下极限圆的直径。注意到它正好是一个理想短路电流 $\underline I_\infty$ 和理想空转电流 $\underline I_0$ 的差值。记作“直径电流 $I_\phi$ ”

(12.40) $I_\phi=\left|~ \underline I_\infty-\underline I_0 \right|=\frac{U_S}{X_{\sigma}^{\Gamma}}=\frac{1-\sigma}{\sigma}\cdot\frac{U_S}{X_{S}}$

所以电流极限圆的大小和位置就会由输入端电压的频率 $\omega_S$ 以及主电抗(或漏磁电抗，或者总漏磁数)决定

(12.41) $I_\phi,I_0\sim \frac{U_S}{\omega_{S}}$

(12.42) $I_0\sim \frac{U_S}{X_{S}} \qquad I_\phi\sim \frac{U_S}{X_{\sigma}^{\Gamma}}$

对于所有的转差率值，定子电流都始终落在右半平面。这是因为异步电机总是吸收了感性的无功电流。而转子电阻 $R_{R}^{\Gamma}$ 则会影响一系列功能点在电流极限圆上的相对位置，因此调节转子电阻可以影响转差率，又被称为”转差率参数“。

所以我们就可以借助转差率参数来确定电流极限圆。

电动机实际工作时，转差率应该是从 $s=1$ 开始出发，一直降到 $s=0$ ，所以从 $P_0\left( s=0 \right)$ 为起点做一条到圆弧上的割线，被称为转差率线(Schlupfgerade)，显然转差率线对应的正好是相量 $\underline I_{R}$ 的方向 $(~\underline I_{S}=\underline I_{0}-\underline I_{R})$ 。

转子电流的斜率方向，即正切值，与转差率 $s$ 线性相关

(12.43) $\underline I_{R}^{\Gamma}=-\frac{\underline U_S}{\frac{R_{R}^{\Gamma}}{s}+jX_{\sigma}^{\Gamma}}\Rightarrow ~~tan\left( \varphi_P \right)=\frac{+Im\left\{ \underline I_{R}^{\Gamma} \right\}}{-Re\left\{ \underline I_{R}^{\Gamma} \right\}}=\frac{X_{\sigma}^{\Gamma}}{R_{R}^{\Gamma}}\cdot s$

所以转差率线可以作为衡量转差率的指标。在用转差率参数确定极限圆时，需要知道两点：

在理想空转点，当 $s=0$ 时，转差率线垂直于虚轴，恰与电流极限圆相切。
想要知道比例关系，需要知道圆上另一点的位置以及它对应的转差率，比如启动点 $(s=1)$ 、转折点或者是刹车点。

实际上电流极限圆还可以用来确定功率以及转矩的大小。

在忽略定子电阻以后，旋转磁场的气隙功率正好为吸收的电网功率。

(12.44) $P_S=3\cdot U_S\cdot I_S\cdot cos\left( \varphi_S \right)=P_{\delta,S}=\frac{\omega_S}{p}\cdot M_i$

定义有功电流(Wirkstrom)，它的大小恰好为定子电流相量在实轴上的投影

(12.45) $I_{SW}=I_S\cdot cos\left( \varphi_S \right)$

在稳态电网下恒定电压大小和交流电频率，那么异步电机的气隙功率和转矩的大小就正比于有功电流的大小

(12.46) $P_{\delta,S}=3\cdot U_S\cdot I_{SW}$

(12.47) $M_i=3\cdot p \cdot \frac{U_S}{\omega_S}\cdot I_{SW}$

把 $P_0P_\infty$ 定义为力矩线(Momentengerade)，那么只要求出转矩比例，以及功率比例，就可以直接在电流极限圆上读取力矩和功率信息了。

因为转子铜损也可以用气隙功率和转差率描述，所以连接 $P_0P_K$ ，即可得到功率线(Leistungsgerade)，于是功率线和实际工作点P到力矩线的垂线就有了两端截距 $m_1$ 和 $m_2$ ，它们会正好有比例关系

(12.48) $\frac{m_1}{m_2}=\frac{s}{1-s}$

这是因为有几何关系

(12.49) $tan\left( \varphi_P \right)=\frac{b}{m}=\frac{b}{m_1+m_2}=\frac{s}{a}$

(12.50) $tan\left( \varphi_K \right)=\frac{b}{m_1}=\frac{1}{a}\Rightarrow ~~\frac{m_1}{m}=\frac{tan\left( \varphi_P \right)}{tan\left( \varphi_K \right)}=s$

(12.51) $m_1=s\cdot m=\frac{m}{P_{\delta,S}}\cdot P_{Cu,R}$

(12.52) $m_2=m-m_2=(1-s)\cdot m=\frac{m}{P_{\delta,S}}\cdot P_{m}$

12.7 与Isw成比例的转矩和功率

5.3 最大转矩

在通入恒定大小的电网电压和电网频率以后，异步电机就会产生一个转矩

(12.53) $M_i=3\cdot \frac{p}{\omega_S}\cdot \frac{s\cdot R_{R}^{\Gamma}}{\left( R_{R}^{\Gamma} \right)^2+s^2\left( X_{\sigma}^{\Gamma} \right)^2}\cdot U_S^2$

这是一个关于转差率 $s$ 的函数，如果我们想获得它的最值点，需要对它关于转差率求导

(12.54) $\frac{dM_i}{ds}=3\cdot \frac{p}{\omega_S}\cdot U_S^2\cdot \frac{R_{R}^{\Gamma}\left( \left( R_{R}^{\Gamma} \right)^2+s^2\left( X_{\sigma}^{\Gamma} \right)^2 \right)-s\cdot R_{R}^{\Gamma}\cdot 2s\cdot \left( X_{\sigma}^{\Gamma} \right)^2 }{\left( \left( R_{R}^{\Gamma} \right)^2+s^2\left( X_{\sigma}^{\Gamma} \right)^2 \right)^2}=0$

$\Rightarrow R_{R}^{\Gamma}\left( \left( R_{R}^{\Gamma} \right)^2+s^2\left( X_{\sigma}^{\Gamma} \right)^2 \right)-s\cdot R_{R}^{\Gamma}\cdot 2s\cdot \left( X_{\sigma}^{\Gamma} \right)^2 =0$

$\Rightarrow \left( R_{R}^{\Gamma} \right)^2-s^2\left( X_{\sigma}^{\Gamma} \right)^2 =0$

可得转矩最大值时的转差率，即转折点的转折转差率 $s_k$ (Kippschlupf)

(12.55) $s_k=\pm\frac{R_{R}^{\Gamma}}{X_{\sigma}^{\Gamma}}=\pm\frac{R_{R}^{'}}{X_{S}}\cdot \frac{\sigma\cdot(1+\sigma_S)^2}{1-\sigma}$

所以最大转矩为转折转矩 $M_k$ (Kippmoment)

(12.56) $M_k=M_i|_{s=s_k}=\frac{3}{2}\cdot p\cdot\frac{U_S^2}{\omega_S\cdot X_{\sigma}^{\Gamma} }=\frac{3}{2}\cdot p\cdot\frac{U_S^2}{\omega_S}\cdot\frac{1-\sigma}{\sigma X_{S} }=\frac{3}{2}\cdot p\cdot\left( \frac{U_S}{\omega_S} \right)^2\cdot\frac{1-\sigma}{\sigma\cdot L_{S} }$

转折转矩表现为和端电压的平方成正比，和通电频率的平方成反比，也和总漏磁电感成反比

(12.57) $M_k\sim \left( \frac{U_S}{f_S} \right)^2$

(12.58) $M_k\sim\frac{1-\sigma}{\sigma }\cdot\frac{1}{L_{S} }=\frac{1}{L_{\sigma}^{\Gamma} }$

可见，转折转矩和转子电阻无关，但是转折转差率却受转子电阻影响。 $M_i\left( s\right)$ 这个函数为一个奇函数，所以当 $s=-s_k$ 时可以得到发电机状态下的最大反向转矩 $M=-M_k$ 。

现在让我们找找转折转差率和转折转矩在电流极限圆上的位置。

因为在转折点，有功电流应当要达到最大值，也就是幅值相当于极限圆半径的大小

(12.59) $I_{SW,k}=\frac{I_\phi}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{U_S}{X_{\sigma}^{\Gamma}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\sigma}{\sigma}\cdot\frac{U_S}{X_{S}}$

(12.60) $tan\left( \varphi_P \right)=\frac{+Im\left\{ \underline I_{R}^{\Gamma} \right\}}{-Re\left\{ \underline I_{R}^{\Gamma} \right\}}=\frac{X_{\sigma}^{\Gamma}}{R_{R}^{\Gamma}}\cdot s=\frac{s}{s_k}$

所以在最大值点，即转折点应该有

(12.61) $tan\left( \varphi_{Kipp} \right)=\frac{+Im\left\{ \underline I_{R,k}^{\Gamma} \right\}}{-Re\left\{ \underline I_{R,k}^{\Gamma} \right\}}=\frac{X_{\sigma}^{\Gamma}}{R_{R}^{\Gamma}}\cdot s_k=1$

这意味转子电流 $\underline I_R$ 的实部和虚部大小相等，而且等于此时有功电流的大小。

电机转矩的公式太过繁复，考虑到转折转矩 $M_k$ 包含了很多重复项，且只为一个常数，可以用它来做归一化。我们研究 $\frac{M_i}{M_k}$

(12.62) $\frac{M_i}{M_k}=\frac{2\cdot s\cdot X_{\sigma}^{\Gamma} \cdot R_{R}^{\Gamma} }{ \left( R_{R}^{\Gamma} \right)^2+s^2\left( X_{\sigma}^{\Gamma} \right)^2}$

代入 $s_k=\frac{R_{R}^{\Gamma}}{X_{\sigma}^{\Gamma}}$ ，即可得到克洛斯公式(Kloss'sche Formel)

(12.63) $\frac{M_i}{M_k}=\frac{2\cdot s\cdot s_k}{s^2+s_k^2}=\frac{2}{\frac{s}{s_k}+\frac{s_k}{s}}$

当转差率相比转折转差率比较小的时候转矩随转差率变化可以用直线来近似

(12.64) $\frac{M_i}{M_k}\approx \frac{2\cdot s}{s_k}\qquad \left| s \right|\ll s_k$

当转差率很大的时候，则需要使用双曲线来近似

(12.65) $\frac{M_i}{M_k}\approx \frac{2\cdot s_k}{s}\qquad\left| s \right| \gg s_k$

归一化以后的转矩-转差率曲线形状和原来函数曲线形状是一样的，只是等比例变换，改写转差率为机械转数，相当于平移变换加比例变换，就可以得到转矩和转数的机械特性曲线了。

在恒定的负载下，一个稳态且稳定的电动机、发电机工作状态应该在 $s\in (-s_k,s_k)$ 这个区间内，因为只有在这段区间内满足稳定条件

(12.66) $\frac{dM_i}{ds}>0$

如果在电机轴上的负载超过最大转矩，那么在超过转折转差率的区间，电机能输出的转矩只会递减。当处于电机工作状态时的异步电机在启动点被反向外力刹车或者纯粹堵转时，电机都处于反转的状态。从电流极限圆中可知，这会导致极大的电流(无功电流)，这些很大的电流就会使转子电阻发热，带来更多铜损，这样就有电机过热的危险！

根据德国标准DIN EN 60034规定，异步电机的最大转矩必须满足： $M_k>1.6M_N$ 。

在小型电机或者在带频变频器的电机中，定子线圈的欧姆电阻是无法忽略的。如果我们重新考虑了定子电阻 $R_S$ ，那么原来的定子电流应当变为

(12.67) $\underline I_S= \frac{\underline U_S}{R_S+jX_S\cdot\left( 1+j\frac{X_{\sigma}^{\Gamma}}{R_{R}^{\Gamma}}\cdot s\right)\left( 1+j\frac{X_{R} }{R_{R}^{\Gamma}}\cdot s\right)^{-1}}$

依照这个方程作图，可以发现，轨迹仍然保持圆形，改变的是相对圆心以及直径，依然可以通过转差率参数来确定圆轨迹。而当电网频率降低的时候，电阻相对于电感的影响反而变大了。如果再考虑铁损给极限圆带来的影响，那么还会有进一步的偏移。

考虑了定子电阻的内生转矩和不同的功率还可以和以前一样在图中量取。力矩线和功率线还能派上用场。

6.转子电路的附加串联电阻

就如同前面所提到的，绕线转子电机可以通过在转子电路上接入附加串联电阻(Vorwiderstände)的方式来影响转矩。在原式中转矩为

(12.68) $M_i=M_i\left( \frac{R_{R}^{'}}{s} \right)=\frac{3p}{\omega_S}\cdot \frac{\frac{R_{R}^{'}}{s} }{\left( \frac{R_{R}^{'}}{s} \right)^2+\left( \sigma \cdot X_{R}^{'} \right)^2}\cdot \frac{U_S^2}{\left( 1+\sigma_S\right)^2}$

转子附加电阻 $R_{RV}$ 也应该像转子电阻一样经过变换后到定子侧

(12.69) $R_{RV}^{'}=R_{RV} \cdot\left(\frac{\xi_SN_S}{ \xi_RN_R} \right)^2$

所以在增添了变换后的附加电阻的转矩为

(12.70) $M_i\left( \frac{R_{RV}^{'}+R_{R}^{'}}{s_V} \right)=\frac{3p}{\omega_S}\cdot \frac{\frac{R_{RV}^{'}+R_{R}^{'}}{s_V} }{\left( \frac{R_{RV}^{'}+R_{R}^{'}}{s_V} \right)^2+\left( \sigma \cdot X_{R}^{'} \right)^2}\cdot \frac{U_S^2}{\left( 1+\sigma_S\right)^2}$

显然，现在的转矩只和转子上的总的电阻与转差率之比 $\frac{R_{R}^{'}}{s}$ 有关！所以加了附加电阻后的转矩和原先一样，只是会把转差率变成新的 $s_V$ 。

(12.71) $\frac{R_{RV}^{'}+R_{R}^{'}}{s_V}=\frac{R_{R}^{'}}{s} \qquad \Rightarrow s_V=s\cdot \left( 1+\frac{R_{RV}^{'}}{R_{R}^{'}} \right)$

由于转折转矩和转子的电阻无关，而转折转差率又和转子总电阻成正比，可以推出转折转差率经过附加电阻平移后的新转差率 $s_{V,k}$

(12.72) $s_{V,k}=s_k\cdot \left( 1+\frac{R_{RV}^{'}}{R_{R}^{'}} \right)$

由此，我们可以推断出带上转子附加电阻的转矩-转差率曲线是一个只移动峰值，但是保持最大转矩大小不变，原点不变的被“拉伸”过的曲线。所以再经过平移和比例变换，得到转矩-转数的机械特性曲线应如下图，最大转矩的转差率值向启动点移动了

定子的电流极限圆依然保持不变，但额外的转子电阻还是改变了转差率参数

这种转矩曲线的移动允许了这样的调节控制方式：通过调节合适的转子附加电阻，来调节控制一种可实现的目标转矩。这种控制方法也可以用来实现带负载的转数控制以及满转矩启动异步电机。

让启动转差率获得最大转矩，那么 $s_{V,k}=1$ ，对应需要的附加电阻大小为

(12.73) $R_{RV}^{'}=R_{R}^{'}\cdot \left( \frac{1}{s_k}-1 \right)$

这样一来也能使启动电流大大减小。

在启动以后，按照曲线，如果不减小附加电阻，那么获得的转矩会一直随着转速提升而递减，因此再一次断开附加电阻，使得阻值回到原来的水平，那么转折转矩也会相应回归原来的位置，保证了高转速大转矩的工作。这一般是通过多级电阻切换来实现的。

通过起动电阻，可以大大降低启动电流，同时这部分不是装在电机内部的附加电阻也很容易冷却，这样一来就能降低电机温升。

然而在转子电路中总的电阻因为附加电阻而提升了，总的转子电阻上的铜损在给定的转矩下是和转差率是成正比的。下列公式显示，提高转子电阻会提高转差率。

(12.74) $P_{\delta,R}=P_{Cu,R}+P_{R,RV}=3\cdot\left( R_R+R_{RV} \right)\cdot I_{R}^2=s\cdot \frac{\omega_S}{p}\cdot M_i$

总之，额外电阻的使用会产生更多的总损耗，也即会明显降低持续工作时绕线转子电机的效率。

7.总结

本章讨论了绕线转子电机的功率分配和定子电流对转矩的影响，还介绍了电流极限圆。深入讨论了转差率对机械特性曲线的影响，得出了转折转差率以及转折转矩，以及克洛斯公式。最后研究了一下转子附加电阻对电机转折转矩的影响。

下一章将会继续探讨最广泛使用的鼠笼式异步电机的基本理论。

德国人怎么学电机——浅谈电机模型(十二)：异步电机：绕线转子电机(二)

善道

4.绕线转子电机的功率和转矩

5.绕线转子电机在电网中的稳态工作

6.转子电路的附加串联电阻

7.总结

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